大K老師：上次我們講了畢達哥拉斯定理，今天我們來聊一聊無理數。

小C同學：好的，大K老師。

大K老師：小C，你知道嗎，無理數的發現是用畢達哥拉斯定理推導出來的，并且引起了數學史上的第一次危機。

小C同學：啥？數學也會有危機嗎？

大K老師：哈，是的，請聽我慢慢道來。我們先來了解一下什麼是無理數。但要了解無理數，我們得先知道什麼是有理數。小C，你知道有理數是什麼嗎？

小C同學：我知道，有理數是整數和分數的統稱，像我們平常所說的1、2、3、1/2、1/3……這些就是有理數。

大K老師：是的，沒錯。因為整數也能寫成分母為1的分數，故有理數我們可以把它理解為“兩個整數之比的數”。相對地，無理數我們就可以理解為“不能寫作兩個整數之比的數”。

小C同學：還有不能寫作兩個整數之比的數？這個數還真的有點難以想象。

大K老師：嗯，在畢達哥拉斯的時代也是難以想象的。在當時，畢達哥拉斯學派對數字很癡迷，甚至有着宗教式的崇敬，他們相信“萬物皆數”，認為一切事物均可用整數或整數的比值來表示。

小C同學：“整數或整數的比值”——這不是上面說的有理數嗎？

大K老師：是的。在當時他們認為有理數就是數軸上所有的數了。但在畢達哥拉斯定理提出後，麻煩就來了。小C，你還記得什麼是畢達哥拉斯定理嗎？

小C同學：記得呀，就是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

大K老師：很好！那麼，假如一個直角三角形的兩條直角邊長度都是1，斜邊是多少呢？

小C同學：根據畢達哥拉斯定理，它應該是一個自己乘以自己等于2的數字。

大K老師：沒錯！但是，這個數字是否是有理數呢？它能否表示成兩個整數之比呢？

小C同學：呃……感覺有點複雜……呵呵。

大K 老師：這個問題是當時畢達哥拉斯的一個學生叫希帕索斯（Hippasus）發現的。基于當時的認知（所有數字都是有理數），他嘗試過多種方法，發現都無法找到這樣的一個數字（兩個整數之比）來滿足自己乘以自己等于2。于是他決定證明這個數字确實無法用整數比來表示，證明如下。

小C同學：這個證明也挺巧妙的呀，看來這個學生希帕索斯也是個數學天才呀！

大K老師：是的，不過這位天才後來的命運就比較慘了。他把這個發現告訴了他的老師，然而畢達哥拉斯認為這是一個荒謬的現象，但他又無法去解決這個問題，為了捍衛他們學派的真理和信仰，他決定把這件事情隐瞞起來，并把這位學生扔到海裡殺死。這就是數學史上的第一次危機。

小C同學：就這麼被殺了，看來确實是“危機”呀！

大K老師：哈哈！不過這雖然是一次危機，但當我們在化解了之後，認知就會擴展，從而建立起新的理論，所以我們不要懼怕去探索那些所謂不可能的事情。上面所求斜邊的結果我們今天稱為根号2，像這類的數字有很多，它們被統稱為無理數。無理數和有理數則統稱為實數，它們的關系如下圖。

大K老師：好了，今天就講到這裡，拜！

小C同學：好的，謝謝大K老師，拜！

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