高斯法解決線性方程組
線性方程組的基本運算對任何線性方程組進行三種操作可得到一個等價的方程組:
1. 将任意兩個方程交換
2. 将系統中任何方程的所有項乘以任何不等于零的數
3. 将任意兩個方程相加/相減(左右同時)
矩陣行的運算
- 交換兩行
- 将一行的倍數添加到另一行
- 将一行乘以一個非零常數
從上面可以看出方程組的變換與矩陣的行變換是一緻的，因此可以用矩陣變換解方程組。
行階梯形矩陣遵循以下規則:
- 如果一行不都是零，那麼第一個非零數字，稱為主元。
- 對于連續兩個以1開頭的行，下面一行的1在上面一行的1的右邊。
- 任何隻有0的行都位于矩陣的底部
階梯矩陣形式:
最簡形的階梯矩陣:
.
通過将系統的增廣矩陣改寫為行階梯形來求解下列線性方程組
解：系統的增廣矩陣如下：
步驟1:在第一列中使用行操作使其生成一個主元1，但本例已有，不用這一步了。
将第(2)行加第（1）行乘-2行，在第(3)行加第（1）行乘-5。
步驟2:在第2列中使用行操作或它們的組合生成一個1(如果沒有的話)，本例已有。
将- 1乘以行(2)加到行(3)
上面的矩陣是行階梯形。相應的線性系統為：
可以将z帶回上一個方程得出y, 然後求出z。
最後得出解：
前面談到最簡階梯形矩陣，我們注意到在主元的1上下都是0。求矩陣的最簡階梯形的方法稱為高斯法。
我們繼續對上面最後一個增廣矩陣做行變換。
将第二行加上第三行乘以6：
接着将第一行加上第三行：
最後将第一行減去第二行：
将增廣矩陣改寫為最簡階梯形的優點是，無需進一步計算就能給出給定方程組的解，如下所示:
總結一下高斯消元法轉換為最簡形的階梯矩陣的方法是：
- 構造一個需要的增廣矩陣。
- 互換行，使第一行是的首位是1，如果沒有一般可以将一個合适的放在首行。
- 将首行的第一列數a去除第一行的全部元素，使首行第一個數變成1.
- 将首行乘以一個系數消掉首行下面第一列的所有元素，使其它行的首項都是0.
- 重複3-4步，使得其它非零行的首位是1，直到形成一個階梯矩陣。
- 最後利用行運算把所得的階梯矩陣變成最簡階梯矩陣。
上面的高斯法也可以用來求矩陣A的逆矩陣，其方法就是：
上述式子就是把增廣矩陣AlI經過一系列高斯法的行變換，使得AlI變為IlC, C就是A的逆矩陣。關于逆矩陣的另外一種求法請參見什麼是矩陣的逆矩陣 。
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