高斯消元法求解線性方程組例題-tft每日頭條

高斯法解決線性方程組

線性方程組的基本運算

對任何線性方程組進行三種操作可得到一個等價的方程組:

1. 将任意兩個方程交換

2. 将系統中任何方程的所有項乘以任何不等于零的數

3. 将任意兩個方程相加/相減(左右同時)

矩陣行的運算

從上面可以看出方程組的變換與矩陣的行變換是一緻的，因此可以用矩陣變換解方程組。

行階梯形矩陣遵循以下規則:

階梯矩陣形式:

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最簡形的階梯矩陣:

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通過将系統的增廣矩陣改寫為行階梯形來求解下列線性方程組

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解：系統的增廣矩陣如下：

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步驟1:在第一列中使用行操作使其生成一個主元1，但本例已有，不用這一步了。

将第(2)行加第（1）行乘-2行，在第(3)行加第（1）行乘-5。

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步驟2:在第2列中使用行操作或它們的組合生成一個1(如果沒有的話)，本例已有。

将- 1乘以行(2)加到行(3)

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上面的矩陣是行階梯形。相應的線性系統為：

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可以将z帶回上一個方程得出y, 然後求出z。

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最後得出解：

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前面談到最簡階梯形矩陣，我們注意到在主元的1上下都是0。求矩陣的最簡階梯形的方法稱為高斯法。

我們繼續對上面最後一個增廣矩陣做行變換。

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将第二行加上第三行乘以6：

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接着将第一行加上第三行：

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最後将第一行減去第二行：

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将增廣矩陣改寫為最簡階梯形的優點是，無需進一步計算就能給出給定方程組的解，如下所示:

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總結一下高斯消元法轉換為最簡形的階梯矩陣的方法是：

上面的高斯法也可以用來求矩陣A的逆矩陣，其方法就是：

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上述式子就是把增廣矩陣AlI經過一系列高斯法的行變換，使得AlI變為IlC, C就是A的逆矩陣。關于逆矩陣的另外一種求法請參見什麼是矩陣的逆矩陣。