歸一問題

【含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然後以單一量為标準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。

【數量關系】

總量÷份數＝1份數量

1份數量×所占份數＝所求幾份的數量

另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數

【解題思路和方法】

先求出單一量，以單一量為标準，求出所要求的數量。

例1

買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？

解

（1）買1支鉛筆多少錢？0.6÷5＝0.12（元）

（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）

列成綜合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

答：需要1.92元。

例2

3台拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5台拖拉機6天耕地多少公頃？

解

（1）1台拖拉機1天耕地多少公頃？90÷3÷3＝10（公頃）

（2）5台拖拉機6天耕地多少公頃？10×5×6＝300（公頃）

列成綜合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）

答：5台拖拉機6天耕地300公頃。

例3

5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？

解

（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？100÷5÷4＝5（噸）

（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？5×7＝35（噸）

（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105÷35＝3（次）

列成綜合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

答：需要運3次。

歸總問題

【含義】

解題時，常常先找出“總數量”，然後再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總産量、幾小時行的總路程等。

【數量關系】

1份數量×份數＝總量

總量÷1份數量＝份數

總量÷另一份數＝另一每份數量

【解題思路和方法】

先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。

例1

服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法後，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？

解

（1）這批布總共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）

（2）現在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）

列成綜合算式3.2×791÷2.8＝904（套）、

答：現在可以做904套。

例2

小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅岩》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅岩》？

解

（1）《紅岩》這本書總共多少頁？24×12＝288（頁）

（2）小明幾天可以讀完《紅岩》？288÷36＝8（天）

列成綜合算式24×12÷36＝8（天）

答：小明8天可以讀完《紅岩》。

例3

食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。後來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

解

（1）這批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）

（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）

列成綜合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）

答：這批蔬菜可以吃25天。

和差問題

【含義】

已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。

【數量關系】

大數＝（和＋差）÷2

小數＝（和－差）÷2

【解題思路和方法】

簡單的題目可以直接套用公式；複雜的題目變通後再用公式。

例1

甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？

解

甲班人數＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人數＝（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2

長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。

解

長＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）

長方形的面積＝10×8＝80（平方厘米）

答：長方形的面積為80平方厘米。

例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解

甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）

丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4

甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

解

“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數。

甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，

因此甲車筐數＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

乙車筐數＝97－64＝33（筐）

答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。

和倍問題

【含義】

已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

【數量關系】

總和÷（幾倍＋1）＝較小的數

總和－較小的數＝較大的數

較小的數×幾倍＝較大的數

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。

例1

果園裡有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？

解

（1）杏樹有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）

答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。

例2

東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？

解

（1）西庫存糧數＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）

（2）東庫存糧數＝480－200＝280（噸）

答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。

例3

甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天後乙站車輛數是甲站的2倍？

解

每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。

把幾天以後甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數就是2倍量。

兩站的車輛總數（52＋32）就相當于（2＋1）倍，

那麼，幾天以後甲站的車輛數減少為（52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）

所求天數為（52－28）÷（28－24）＝6（天）

答：6天以後乙站車輛數是甲站的2倍。

例4

甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？

解

乙丙兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作為1倍量。

因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍；

又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍；

這時（170＋4－6）就相當于（1＋2＋3）倍。

那麼，甲數＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

乙數＝28×2－4＝52

丙數＝28×3＋6＝90

答：甲數是28，乙數是52，丙數是90。

差倍問題

【含義】

已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。

【數量關系】

兩個數的差÷（幾倍－1）＝較小的數

較小的數×幾倍＝較大的數

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。

例1

果園裡桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

解

（1）杏樹有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）

答：果園裡杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例2

爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？

解

（1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）

（2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）

答：父子二人今年的年齡分别是36歲和9歲。

例3

商場改革經營管理辦法後，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？

解

如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬元就相當于上月盈利的（2－1）倍，因此

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬元）

本月盈利＝18＋30＝48（萬元）

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

例4

糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天後剩下的玉米是小麥的3倍？

解

由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差（138－94）。

把幾天後剩下的小麥看作1倍量，則幾天後剩下的玉米就是3倍量，那麼，（138－94）就相當于（3－1）倍，

因此剩下的小麥數量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）

運出的小麥數量＝94－22＝72（噸）

運糧的天數＝72÷9＝8（天）

答：8天以後剩下的玉米是小麥的3倍。

倍比問題

【含義】

有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若幹倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。

【數量關系】

總量÷一個數量＝倍數

另一個數量×倍數＝另一總量

【解題思路和方法】

先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解

（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）

列成綜合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

例2

今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？

解

（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）

（2）共植樹多少棵？400×160＝64000（棵）

列成綜合算式400×（48000÷300）＝64000（棵）

答：全縣48000名師生共植樹64000棵。

例3

鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

解

（1）800畝是4畝的幾倍？800÷4＝200（倍）

（2）800畝收入多少元？11111×200＝2222200（元）

（3）16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20（倍）

（4）16000畝收入多少元？2222200×20＝44444000（元）

答：全鄉800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。

相遇問題

【含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。

【數量關系】

相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）

總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間

【解題思路和方法】

簡單的題目可直接利用公式，複雜的題目變通後再利用公式。

例1

南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？

解

392÷（28＋21）＝8（小時）

答：經過8小時兩船相遇。

例2

小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那麼，二人從出發到第二次相遇需多長時間？

解

“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400×2相遇時間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：二人從出發到第二次相遇需100秒時間。

例3

甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。

解

“兩人在距中點3千米處相遇”是正确理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，

相遇時間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時）

兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）

答：兩地距離是84千米。

追及問題

【含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在後面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之内，後面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。

【數量關系】

追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

【解題思路和方法】

簡單的題目直接利用公式，複雜的題目變通後利用公式。

例1

好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？

解

（1）劣馬先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）

（2）好馬幾天追上劣馬？900÷（120－75）＝20（天）

列成綜合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

答：好馬20天能追上劣馬。

例2

小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解

小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。

又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是

（500－200）÷［40×（500÷200）］

＝300÷100＝3（米）

答：小亮的速度是每秒3米。

例3

我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？

解

敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。

由此推知

追及時間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）

＝220÷20＝11（小時）

答：解放軍在11小時後可以追上敵人。

例4

一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。

解

這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落後于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，

這個時間為16×2÷（48－40）＝4（小時）

所以兩站間的距離為（48＋40）×4＝352（千米）

列成綜合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4

＝352（千米）

答：甲乙兩站的距離是352千米。

植樹問題

【含義】

按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。

【數量關系】

線形植樹棵數＝距離÷棵距＋1

環形植樹棵數＝距離÷棵距

方形植樹棵數＝距離÷棵距－4

三角形植樹棵數＝距離÷棵距－3

面積植樹棵數＝面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】

先弄清楚植樹問題的類型，然後可以利用公式。

例1

一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

解

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

例2

一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？

解

400÷4＝100（棵）

答：一共能栽100棵白楊樹。

例3

一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？

解

220×4÷8－4＝110－4＝106（個）

答：一共可以安裝106個照明燈。

例4

給一個面積為96平方米的住宅鋪設地闆磚，所用地闆磚的長和寬分别是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地闆磚？

解

96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）

答：至少需要400塊地闆磚。

例5

一座大橋長500米，給橋兩邊的電杆上安裝路燈，若每隔50米有一個電杆，每個電杆上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？

解

（1）橋的一邊有多少個電杆？500÷50＋1＝11（個）

（2）橋的兩邊有多少個電杆？11×2＝22（個）

（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）

答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

年齡問題

【含義】

這類問題是根據題目的内容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系随着年齡的增長在發生變化。

【數量關系】

年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有着密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一緻的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】

可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

例1

爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？

解

35÷5＝7（倍）（35 1）÷（5 1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。

例2

母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年後母親的年齡是女兒的4倍？

解

（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30（歲）

（2）幾年後母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）

列成綜合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：3年後母親的年齡是女兒的4倍。

例3

甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數将來是你現在的歲數時，你将61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？

解

這裡涉及到三個年份：過去某一年、今年、将來某一年。列表分析：

過去某一年 今年 将來某一年

甲 □歲 △歲 61歲

乙 4歲 □歲 △歲

表中兩個“□”表示同一個數，兩個“△”表示同一個數。

因為兩個人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差，

因此二人年齡差為（61－4）÷3＝19（歲）

甲今年的歲數為△＝61－19＝42（歲）

乙今年的歲數為□＝42－19＝23（歲）

答：甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是23歲。