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容斥原理與重疊問題的區别
容斥原理與重疊問題的區别
更新时间:2025-04-04 19:40:47

容斥原理是為了避免重疊部分被重複計算的一種計數方法。操作原理是:先不考慮重疊部分,把整體中包含的所有數目先計算出來,然後再将重複部分排除出去,使計算結果沒走重複和遺漏。

應用容斥原理,可以解決許多有趣的數學問題。容斥原理常常需要用到文氏圖。

例1、六年級一班有45名學生,參加語文小組的有25人,參加數學小組的有35人,如果每人都至少參加一個小組,則這個班兩個小組都參加的有多少人?

容斥原理與重疊問題的區别(包含與排除容斥原理)1

如圖所示,左邊的圓表示參加語文小組的人數,右邊的圓表示參加數學小組的人數,中間重疊部分表示兩個小組都參加的人數。

25 35=60(人)

60-45=15(人)

答:這個班兩個小組都參加的有15人。

在上題中,因為每個人都至少參加了一個小組,所以全班45人都包含在兩個圓的範圍内。如果不是所有人都至少參加了一個小組,有人沒有參加任何小組的時候,在圓之外還有人,這種情況下就再加一個長方形邊框,把所有人都體現出來。

例2、六年級二班有46人,其中參加語文小組的有12人,參加數學小組的有18人。還有12人既沒有參加語文小組也沒有參加數學小組,那麼兩個小組都參加的有多少人?

容斥原理與重疊問題的區别(包含與排除容斥原理)2

如上圖所示,左圓表示參加語文小組的人數,右圓表示參加數學小組的人數,兩個圓的重疊部分表示兩個小組都參加的人數,圓之外長方形以内表示兩個小組都沒有參加的人數。

46-12=34(人)

20 18-34=4(人)

答:兩個小組都參加的有4人。

每天分享一點數學知識,每天都有新發現[比心]

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