教材分析：

本單元的主要内容有：圓柱和圓錐的認識，圓柱的表面積，圓柱體積和圓錐的體積。整個單元分圓柱和圓錐2個小節編排。其中，第一小節圓柱，具體又分為三個層次：第一層次，讓學生結合實物探索圓柱的特征；第二層次，引導學生探索圓柱表面積的計算方法（探索圓柱側面積的計算方法作為教學的一個重點）；第三層次，引導學生探索圓柱的體積計算公式。第二小節圓錐的編排，除暫不探索圓錐側面積的計算方法外，其他編排和圓柱編排相似。主要分兩個層次進行安排：第一層次，通過觀察、比較、測量、交流等活動，探索圓錐的特征；第二層次，探究圓錐與圓柱體積之間的關系，歸納得出圓錐體積的計算公式。

一、與實驗教材的主要區别

本單元教學内容的編排，基本沿用了實驗教材的結構，無論是結構還是具體内容，變動都不是很大。具體變動之處主要有以下幾個方面。第一，在學完圓柱的體積計算之後，教材新編了一道“解決實際問題”的例題（例7）。在這裡，學生要解決一個非常規問題，很具有挑戰性，并非簡單的套用公式就可以解決，需要通過自主探究和教師的有效指導，共同找到“把瓶子倒置”這一解決問題的關鍵。特别值得一提的是，我們的教學目标不僅是解決這一具體的問題，更重要的是在這一過程中提高學生的問題意識，激發學生的探究欲望，在探究的過程中理解和掌握轉化的思想，體會轉化的實質是“變中有不變”。即通過這一例題的教學，使學生真正經曆發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的完整過程，同時進一步發展解決問題的能力，體會并理解其中蘊含的數學思想。第二，在有些例題習題編寫中做了适當的删減。例如，在例5探索圓柱體積一例中，教材增編了兩處小精靈的提問，再将圓柱分割拼成近似的長方體後，增編“把拼成的長方體與原來的圓柱比較，你能發現什麼？”這一問題，繼而在得出文字計算公示後，進一步提問“如果知道圓柱的底面半徑r和高h,你能寫出圓柱的體積公式嗎？”顯然，教材經過改動後，更有利于教師充分地發揮其指導作用，也更有利學生有的放矢地進行自主探究學習，為學生的“真探究”提供了良好的研究平台。由于篇幅關系，其餘的不一一列舉，請老師在教學過程中仔細比較實驗教材與新教材的異同，并仔細斟酌分析編者意圖，以更好地理解把握教學目标。

二、教材例題分析

（一）圓柱

本小節包括三部分内容：圓柱的認識、圓柱的表面積和體積。在第一學段直觀認識圓柱的基礎上，本節教材從特征、表面積、體積三方面進一步豐富學生對圓柱的認識。

教材在教學例1之前，先安排了《圓柱的認識》，在這一層次的教學中，教材遵循一般概念教學的認知過程，并在編排中充分考慮如何借助學生原有知識經驗來展開學習。首先，教材呈現了現實生活中的圓柱形建築物和生活用品，讓學生觀察。同時提出問題“這些物體的形狀有什麼共同特點？”引導學生思考。其次，從衆多圓柱體實物中抽象出圓柱的一般性直觀模型，給出這一模型的名稱，使學生對圓柱的認識經曆由具體到表象的抽象過程。最後讓學生說說生活中還見到過哪些圓柱形的物體，豐富學生頭腦中圓柱形象的儲備，把抽象的“圓柱”具體化，同時讓學生感受生活中圓柱的運用是非常廣泛的。

例1．圓柱的組成及其特征。在引導學生觀察圓柱形實物的基礎之上，認識圓柱的底面、側面和高。接着組織學生對圓柱的觀察、觸摸以及交流讨論，了解圓柱的特征。為後繼學習圓柱表面積、體積做準備。在探究圓柱的特征之後，教材還安排了一個有趣的活動：拿一張長方形硬紙，在某一邊貼上一小棒，快速轉動小棒，看轉出來的是什麼形狀。使學生從旋轉的角度認識圓柱，使學生看到長方形的長、寬與圓柱的底面半徑、高之間的關系，并感受平面圖形與立體圖形的轉換。

例2．認識圓柱側面展開圖。教材的編寫以圍繞三個層次分明，前後緊密相連的三個問題而展開。首先讓學生猜想：圓柱的側面展開後是什麼形狀？引導學生動手實踐，自主探究，發現得出圓柱側面是一個長方形。之後，在問題“這個長方形的長、寬與圓柱有什麼聯系？”“把這個長方形重新包在圓柱上，你能發現什麼？”等的引領下，進一步激發學生探究的欲望，學生通過操作、驗證、比較等，進一步發現長方形的長、寬與圓柱的底面周長、高之間的關系，實現平面與曲面之間的轉換。顯然，教材的編寫充分體現了讓學生自主探究的學習過程。

例3．圓柱的表面積及其計算方法。教材一開始就直接提出：圓柱的表面積指的是什麼？引導學生在回憶、觀察和交流中逐步理解圓柱表面積的含義。接着，教材提示并呈現以前學過的圓柱展開圖，及時提出：觀察上圖，你能發現什麼？教材借助學生對圓柱各部分組成的認識，引導學生自主探求圓柱的表面積有哪些，得出圓柱表面積=圓柱的側面積 兩個底面的面積。之後，教材依據小精靈的提問：“圓柱的側面積你會計算嗎？圓柱的底面積呢？”以進一步提示學生如何解決圓柱表面積的計算問題。針對計算過程中可能出現的困難，教材重點提示了圓柱的側面積的計算，即實際就是求圖中長方形的面積，以幫助學生将圓柱的底面半徑（或直徑）及圓柱的高，和圓柱側面圖形的長、寬建立聯系，自行推導總結圓柱的側面積=底面周長×高。總之，從教材整個課例的編排來看，教材的編排既十分重視新知識與已有知識的聯系，又注重學生自主探求、歸納推理等能力的培養。

例4．圓柱表面積計算的應用。現實生活中有關圓柱表面積計算的情形複雜多變，需要根據具體的情況，确定求哪些面的面積之和。這對于學生來說，首要的問題是能否将現實的具體的物體抽象轉化為“标準”的圓柱。如本例中的關鍵是學生能否将圓柱形廚師帽抽象為一個隻有一個底的圓柱。盡管教材裡沒有直接給出，但在教學時應積極引導學生自主分析與集體交流分享，以揭示解決問題的本質，在此基礎上再要去獨立解答。這道題的計算結果，在取近似值時采用的是“進一法”，而非用“四舍五入”取近似值，因為隻要是求所需的材料首先要考慮夠用，所需的材料隻可比計算結果多而不能少。

例5．圓柱體積公式的推導。教材首先從回顧舊知（長方體、正方體的體積計算）入手，引出圓柱體積的計算問題，并提出圓柱能否轉化為已學過的立體圖形來計算體積。如何轉化？教材從将圓等分若幹等份再拼成近似長方形這一原有知識經驗作為思維的生長點，引導學生從平面的知識類推到立體的圖形，即先将圓柱的底面分成許多相等的扇形，再把圓柱切開，拼成一個近似的長方體。繼而讓學生想象，等分成的份數越多，拼成的形體越接近長方體。整個教學過程，通過學生的觀察、操作與想象，使極限思想、轉化思想有機地滲透在活動之中。緊接着，根據小精靈的提示：把拼成的長方體與原來的圓柱比較，你能發現什麼？引導學生觀察與推理，得出轉化前後的圓柱與長方體各部分之間的對應關系，推導出圓柱的體積計算公式的兩種形式。

例6．用圓柱體積的計算公式解決實際問題。教材創設了一個生活的問題情境“這個杯子能不能裝下這袋牛奶”，要解決這個問題，就先要計算杯子的容積，使學生感受計算的必要性。如何計算杯子的容積呢？教學時應設法讓學生回憶先前的有關容器容積計算的一些相關知識，使學生明白容器容積計算的方法與相應立體圖形的體積計算方法相同，隻是要注意從容器的内部去測量相關的數值。至于具體如何應用公式計算，則可放手讓學生自主選擇計算方法。

例7．用圓柱體積計算公式解決問題。本例是修訂版教材新增的一個問題解決例題。教材呈現了一個裝了小半瓶水的礦泉水瓶，下部是圓柱形，上部是一個不規則的立體圖形。給出了瓶子平置時水的高度和倒置時無水部分的高度，要求的是這個瓶子的容積。這是一個非常規數學問題，不是簡單套用公式就可以解決的，但例題素材的選用更有利于培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題等諸方面的能力。教材在“閱讀與理解”環節，在理解題意的基礎上，提煉出“這個瓶子不是一個完整的圓柱，無法直接計算容積”這一問題情境，促進學生進一步思考提出問題“能不能轉化成圓柱呢”；“分析與解答”環節，承接前面提出的問題，引導學生通過觀察，比較水瓶倒置前後的水瓶内的變化情況，發現水瓶的容積無論是倒置前後，總是瓶内水的體積與無水部分的體積。進一步發現，水瓶倒置前後，水的體積與無水部分（即空氣）的體積都是不變的，并且倒置前，瓶内水的形狀是一個圓柱，而倒置後，無水部分（即空氣）的形狀是一個圓柱，這兩個圓柱的體積就是瓶子的容積。教材呈現了兩種不同的表達分析結果的方式，以幫助學生更好地理解解決問題的實質。整個教學過程，學生經曆了将不規則形狀轉化為規則形狀，把未知知識轉化為已學知識的過程，感受了發現過程中的“變”與“不變”，揭示了解決問題的本質。這有利于提高學生的分析問題與解決問題的能力。“回顧與反思”部分，與以前計算不規則圖形體積的方法進行比較，對轉化的思想和方法，适度抽象概括，有利于豐富完善學生的認知結構，提高解決問題的能力。

（二）圓錐

本小節包括圓錐的認識和體積兩部分内容，是在學生學習掌握了圓和圓柱的相關知識基礎之上進行教學的。

圓錐的認識，安排在例1教學之前，其編排思路與圓柱的認識基本相同，教材從展示生活中常見的圓錐形實物圖入手，提出問題“這些物體的形狀有什麼共同的特點？”引導學生經曆對圓錐概念的感知——抽象——應用等過程，建立圓錐的幾何表象，給出圓錐的名稱。

例1．認識圓錐的底面、側面和高及其特征。首先，教材借助圓錐幾何模型，引導學生觀察認識圓錐的底面、側面和高，并給出這些概念的定義及其主要特征。其次，着重介紹圓錐高的測量方法，并指出測量時需要注意的問題。特别地，在這個過程中要放手讓學生親手操作實踐，并展開交流讨論，以獲得測量高的基本活動經驗使學生加深對圓錐高的認識。最後，與圓柱的認識編排相似，為加深對圓錐的認識，安排了一個快速轉動自制的“三角形”，看轉出來的是什麼形狀，從旋轉的角度認識圓錐，以促進學生空間觀念的發展。

例2．圓錐體積計算公式的推導。教材按引出問題——實驗探究——導出公式三個層次進行編排。首先，教材提出問題“我們已經會計算圓柱的體積，如何計算圓錐的體積呢”，引導學生思考，通過尋找圓柱、圓錐的共同點：底面都是圓等等，啟發學生将圓錐的體積與圓柱的體積聯系起來，激發學生對兩者體積之間的大小關系進行猜測、探究。教材在這一環節删除了實驗教材中利用排水法測體積等有關内容，這樣編排，直接揭示問題的研究對象，使得研究的問題更為清晰，學生活動探究、思考的路徑也更為明确。其次，教材安排了實驗探究。教材讓學生準備好等底、等高的圓錐和圓柱，通過圓柱、圓錐相互倒沙子或水的實驗，探究圓錐和圓柱體積之間的關系。最後，導出公式。通過實驗學生發現：等底等高的圓錐和圓柱，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。由此得出圓錐體積的計算公式。

例3．圓錐體積的計算。與原實驗教材相比，本例所求問題由求體積改為求體積、求重量兩個問題。因此，在教學時應特别注意合理、正确利用題目中給出的信息，弄清所求問題。通過這個例子的教學，使學生初步學會解決一些與計算圓錐形物體的體積有關的實際問題。

本單元的教學重點是圓柱、圓錐的認識；圓柱表面積計算、圓柱和圓錐體積計算；難點是在實踐活動中發展學生的空間觀念，體會有關數學思想。

同步練習：

一、填空

1．如圖，把底面周長18.84 cm，高10 cm的圓柱切成若幹等份，拼成一個近似的長方體。這個長方體的底面積是（ ）cm2，表面積是（ ）cm2，體積是（ ）cm3。

2．數學老師的教具裡有一個圓柱和一個圓錐，老師告訴大家，圓柱和圓錐的體積相等，底面積也相等，已知圓錐的高是12厘米。請你算一算，這個圓柱的高是（ ）厘米。

3．一個圓柱形的木料，底面半徑是3厘米，高是8厘米，這個圓柱體的表面積是（ ）平方厘米。如果把它加工成一個最大的圓錐體，削去部分的體積是（ ）立方厘米。

4．下圖中的圓柱形杯子與圓錐形杯子的底面積相等，把圓錐形杯子裝滿水後倒進圓柱形杯子，至少要倒（ ）杯才能把圓柱形杯子裝滿。

5．小悅用一塊體積為216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一個圓柱和一個圓錐，圓柱的體積是（ ）立方厘米，圓錐的體積是（ ）立方厘米。

二、選擇

1．下面各圖是圓柱的展開圖的是（ ）。

2．把長1.2米的圓柱形鋼材按1:2:3截成三段，表面積比原來增加56平方厘米，這三段圓鋼中最長的一段比最短的一段體積多（ ）。

A．560立方厘米 B．1600立方厘米 C．840立方厘米 D．980立方厘米

3．把一個圓錐的底面半徑和高都擴大3倍，則它的體積擴大（ ）。

A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．27倍

4．下列圖形中體積相等的是（ ）。（單位：厘米）

A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（1）和（4） D．（3）和（4）

5．一個密封的瓶子裡裝着一些水（如圖所示），已知瓶子的底面積為10 cm2，請你根據圖中标明的數據，計算瓶子的容積是（ ）cm3。

A．80B．70C．60D．50

三、解答

1．如圖，是用塑料薄膜覆蓋的蔬菜大棚，長15米，橫截面是一個直徑2米的半圓。

（1）這個大棚的種植面積是多少平方米？

（2）覆蓋在這個大棚上的塑料薄膜約有多少平方米？

（3）大棚内的空間約有多大？

2．一個圓錐形容器，底面半徑是4厘米，高9厘米，将它裝滿水後，倒入底面積是12．56平方厘米的圓柱形容器中，水的高度是多少？

3．蒙古包也稱“氈包”，是蒙古族傳統民居，下圖中的蒙古包是由一個圓柱體和一個圓錐體組成的（單位：米）。這個蒙古包占地多少？内部的空間約是多少？（得數保留整數。）

4．牙膏出口處是直徑為4毫米的圓形，小紅每次刷牙都擠出1厘米長的牙膏，這樣一支牙膏可用54次。該品牌牙膏推出的新包裝隻是将出口處直徑改為6毫米，小紅還是按習慣每次擠出1厘米長的牙膏。現在一支牙膏隻能用多少次？

5．一個直角三角形，如果繞着它的一條直角邊旋轉，就可以形成圓錐體。如果兩條直角邊的長度不相等，那麼，分别繞着每條直角邊旋轉所形成的圓柱體的形狀也是不相同的。請你判斷：繞着較長直角邊旋轉與繞着較短直角邊旋轉所形成的圓錐體的體積是不是一樣大？如果不一樣，哪種旋轉方式下的體積更大一些呢？