函數應該算是數學中最重要的概念之一，也是我們接觸得比較多的數學對象，從小學到大學的數學學習之中，函數可以說無處不在。如今我們以極為簡潔的方式定義了函數，然而函數概念的發展卻并不是一帆風順的，大量的數學家耗費将近三個世紀的時間才最終形成了一套成熟的函數語音。

将自然現象和規律用數學方式表達出來并加以研究應當說是近代科學得以發展的一個重要原因，而函數在這個過程中幾乎起着決定性的作用。根據現存的資料，函數概念的雛形最早出現在葛列格裡(1638~1675)的論文《論圓和雙曲線的求積》中，他把函數定義為其他量通過一系列運算得到的量。但直到牛頓創立微積分理論，他也沒有明确到底什麼是“函數”，而隻是使用“流數”這樣的概念來表達變量之間的關系，在之後很長一段時間裡，由于函數概念的含糊不清，微積分理論一直飽受争議。盡管如此，不嚴格的微積分理論還是催生了數學内外的大量成果，但不嚴格性始終如同達摩克斯之劍一般懸在數學家頭上。

實際上，函數這個詞出自“數學名詞和符号聖手”萊布尼茨，他在1673年首先使用了“函數”這個詞，并且提出了“變量”和“參變量”這樣的概念，這已經非常接近函數如今的模樣。牛頓和萊布尼茨時代的函數基本都是為了适應微積分理論而出現的，也就是說，這些函數都是可以用自變量明确表示出來的，而且滿足可導性等較為嚴格的條件。但數學家們很快就發現，函數的解析性大大地局限了所能研究的範圍，進而出現了連續函數的概念，當時被稱之為“幾何的函數”。這一時期的函數都具有強烈的幾何色彩，也就是說，數學家所關心的函數都可以用圖像表示出來，可以直觀地感受函數的性質。

直觀的函數概念對于數學本身的發展來說還遠遠不夠，于是函數論的發展很快就走上了抽象化的過程。如今我們通用的函數記号f(x)是歐拉在1734年提出的，大概從這個時候起，函數論開始走上了獨立的發展道路。1769年，達朗貝爾在研究中首先得到了函數方程：

之後柯西得到了更多具有數學和物理意義的函數方程，并且開始系統研究函數方程的解，取得了很多結果。但實際上，許多重要而困難的函數方程問題直到後來才由阿貝爾解決，同時，阿貝爾極大地推進了橢圓函數論的發展，從而函數論的發展有了質的提升。

在歐拉和拉格朗日之前，數學家和物理學家所研究的函數都是在定義域上整體定義的，直到對物理中弦振動仔細研究之後，歐拉和拉格朗日才首先提出了在不同區間上有不同表達式的函數。當時來自物理的直觀在很長一段時間裡給數學家一種錯覺，那就是同一區間上處處擁有相同函數值的兩個函數完全是同一個函數，即它們有相同的表達式。但這種錯誤最終還是被傅裡葉揭示出來。在傅裡葉著名的《熱的解析理論》中，他創造性地利用三角級數來表達函數，從而舉出了反例：

從中我們可以看到，盡管兩個函數的值可能處處相同，但它們可以有不同的表達式，所代表的意義也是可以不一樣的，不能稱之為完全相同的一個函數。傅裡葉的結果一出，立即引發了數學界強烈的震動，即使是拉格朗日這樣偉大的人物也一時難以接受。這些已經說明，對函數固有的直觀認識已經不能滿足數學發展的需要了。

在19世紀初期，古典函數概念的缺陷越發明顯，如果說傅裡葉所揭示的問題還不算大錯特錯，那麼從狄利克雷開始，函數的古典概念将受到緻命打擊。在此之前，在微積分教材上都可以找到“連續函數在某些連續點一定是可導的”這樣的結論，即使是當時的大數學家也不會覺得有什麼問題。實際上，這樣的錯誤認識主要是因為對函數的認識仍未擺脫直觀想象，同時函數的連續性和可導性到底意味着什麼，當時的數學家也沒搞清楚。

狄利克雷在1829年邁出了微積分嚴格化的第一步，他給出了著名的狄利克雷函數：

數學家們驚訝地發現，狄利克雷函數處處不連續，處處不可導，在任意區間上也不存在黎曼積分。狄利克雷函數極為“扭曲”的分析性質所帶來的沖擊甚至比傅裡葉的例子還要大，對某些頑固的數學家來說，甚至是緻命的，因為這個函數無法把它的圖像直接畫出來，完全沒有任何解析性質，也就沒法“想象”了。基于長期的考慮，1837年狄利克雷給出了我們今天所見到的函數定義：給定區間上的自變量x，都有唯一的因變量y與之對應，那麼y是x的函數。集合論出現之後，1887年戴德金又給出了兩個集合之間函數的定義，自此函數便有了擺脫直觀而且明确的定義。

狄利克雷大概是曆史上第一個真正考慮抽象函數的數學家，他關心函數的單調性，連續性，可導可積性等，而忽略函數的實際來源和物理幾何意義，也就是說，狄利克雷關心的是函數本身的性質，而不是關于它的各種計算。應該說，從狄利克雷開始，對函數的認識實現了從具體到抽象的演變，而且事實證明，這不僅沒有脫離實際，反而促進了函數的各種應用，因為數學想要發揮更大的作用，那麼它本身必須要有堅實嚴格可信的基礎。

狄利克雷算是開了個頭，接下來柯西開始為極限和連續性等概念注入“嚴格”的靈魂，但他仍未擺脫“連續”的限制。在柯西的手中，他所考慮的函數都是連續的，這無論是對于數學本身還是物理等相關學科都是不夠的。而突破連續性限制的第一人則是偉大的黎曼，在發展黎曼積分理論的過程中，黎曼給出了另一個著名的函數，也就是我們今天所說的黎曼函數：

黎曼函數在有理點不連續而在無理點連續，但出人意料的是它是可積的，這也就深刻揭示了可積函數與聯系函數的巨大差異。但限于曆史局限，黎曼也未能突破不連續點過多所帶來的影響，這将留待後人解決。

分析學的嚴格化是數學史上長達百年的漫長過程，而這其中的集大成者正是大名鼎鼎的“現代分析學之父”魏爾斯特拉斯。魏爾斯特拉斯被稱為“數學流言終結者”，他在一生中憑借強大的數學直覺，針對一些錯誤的數學想法，構造出了非常多的反例，其中最出名的便是給出了“處處連續但處處不可導”的函數：

對于這樣連續卻“沒有導數”的函數，當時的著名法國數學家埃爾米特寫到：“我簡直驚恐萬分，不願意面對這樣沒有導數的連續函數，但很不幸，這就是事實！”。無數數學家的錯誤數學觀念被這個函數沖垮了，它也再次說明，數學的靈魂是“嚴格”而非直覺。

當然，魏爾斯特拉斯并不滿足于僅僅指出問題，他決心要結束關于微積分理論長達兩百年的混戰。魏爾斯特拉斯的偉大之處正在于，他可以從沒有人關心的平凡細節中創造奇迹，可謂化腐朽為神奇。他觀察到，真正決定函數性質的不是函數本身，而是實數，實數的性質完全決定了極限，連續，可微可導等函數概念，關于函數概念的含糊不清正是因為對實數的認識還不夠。

從實數出發導出函數的各種概念，這樣的想法受到了當時許多數學家的嘲諷，他們都認為魏爾斯特拉斯是在自尋煩惱。但魏爾斯特拉斯顯然沒有受這些幹擾，他嚴格地構造完備實數系，并從實數系出發，定義函數的極限，連續性，可微可導性，可積性，級數的斂散性等等，從而一舉解決了函數概念不嚴格的長期難題，把分析學建立在了嚴格堅實的數學基礎之上，分析學的“算術化”也就圓滿完成了。

關于魏爾斯特拉斯的偉大功績，希爾伯特評價到：

“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、極大、函數、導數等概念，他排除了在微積分中仍在出現的各種錯誤提法，掃清了關于無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源于無窮大、無窮小朦胧思想的困難。今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度本質上應歸功于魏爾斯特拉斯的數學活動”。

康托的集合論出現之後，戴德金以更為現代的觀點叙述了實數系的完備性定理，這些在如今的數學分析教材中都可以找到。但一波剛平，一波再起，之前提到過，黎曼積分有無法克服的困難，而這在分析學的嚴格化之後再度引發了一場數學風暴。當然，這已經是另一個故事了……