無窮大到底有多大？

今天來和大家聊聊有關無窮大的故事。

無窮大是什麼？舉個直觀的例子，“所有整數的數量”就是無窮大，“一條直線上所有點的數量”也是無窮大。

既然都是無窮大，那麼是否意味着這兩者是一樣的？換句話說，我們能不能比較兩個不同的“無窮大”，看看它們誰“更大”？

“所有整數的數量和一條直線上所有點的數量，這兩個到底哪個大？”集合論的奠基者——著名德國數學家康托爾首次對這類看似“沒有意義”的問題進行了認真的分析與解答，使人類對“無窮大”有了全新的認識。

你一定很疑惑：都是無窮大，怎麼互相比較大小？對于無窮大，我們既無法描述，更無法數清。

回憶一下我們在孩童時如何比較兩堆東西的數量？拿筆和本子舉例，其實很簡單，隻要把筆和本子拿出來一對一地比較，可以在一支筆旁邊放一本本子，然後在第二支筆旁邊放第二本本子，周而複始……如果本子用完了，而筆還有剩餘，那麼我們就可以知道是筆更多。

實際上，這就是康托爾提出的比較兩個“無窮大”的方法——源于人類對于物體數量最原始、最樸素的感知。我們可以将兩組無窮大進行配對，每個集合裡的元素分别對應另一個集合裡的元素，如果它們正好一一對應，任何一個集合都沒有多餘的元素，那麼這兩個無窮大的大小相等；相對應地，如果兩組無窮大無法一一對應，某個集合中存在無法配對的剩餘元素，那麼我們就可以說，這個集合的無窮大更大，就像我們小時候比較筆和本子的數量那樣。

奇數和偶數顯然都有無窮多個（這裡隻讨論正奇數和正偶數），用上述辦法我們便可以比較它們的數量。當然，出于對數字的直覺，你肯定認為這兩者是一樣多的，事實上，它們也完全符合我們剛才對“一一對應”的描述：奇數和偶數可以列成一對一的組合：

從上圖中我們可以觀察到，對于任意一個奇數，都有唯一對應的偶數，反之亦然。因此，奇數的數量和偶數的數量是兩個相等的無窮大，這并不難理解。

換一個問題：全體正整數的數量和偶數的數量誰更大？

你也許會說：那還用說，肯定是所有正整數的數量更大，因為除了偶數以外，它還包含了奇數。但是，這隻是你的直覺，令人震驚的是，如果我們依然嚴格按照上述方法來比較這兩個無窮大，你會發現你的直覺錯了，事實上所有正整數和偶數的數量竟然是一樣多的！因為所有正整數的集合和隻有偶數的集合也能形成一一對應：

這看起來似乎很矛盾，因為偶數顯然是正整數的一部分，但是請記住，我們是在讨論無窮大，在“無窮”的世界裡，部分可能“等于”整體！

無窮大的諸多特性是奇特且古怪的，我們必須做好直面它們的準備。

對于“無窮大”的讨論，最有趣的例子莫過于德國數學家大衛·希爾伯特在談到“無限大數”的奇怪而美妙的性質時提出的著名的“希爾伯特旅館”。

我們設想有一家旅館，内設有限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了一位新住客，想訂個房間，“對不起”，旅館主人說，“所有的房間都住滿了。”

再設想另一家旅館，内設無窮多個房間，所有的房間也都客滿了。這時也有一位新住客，想訂個房間。

“不成問題！”旅館主人說。接着他就把1号房間的旅客移到2号房間，2号房間的旅客移到3号房間，3号房間的旅客移到4号房間等等，這樣繼續移下去。這樣一來，新住客就被安排住進了已被騰空的1号房間。

現在我們繼續想象，一家旅館擁有無窮多個房間，現在來了無窮多個新住客。

“沒問題，先生們，請等一會兒。”旅館主人說。

他把1号房間的旅客移到2号房間，2号房間的旅客移到4号房間，3号房間的旅客移到6号房間，如此進行下去……

這樣的話所有奇數号的房間都空出來了，無窮多位客人輕輕松松就安置了下來。

這個“反直覺”的故事巧妙地揭示了“無窮大數”不同于普通數字的奇妙特性。

根據康托爾的“無窮大比較法則”，我們現在還能證明有理數的數量等于整數的數量。

稠密的有理數集與疏散的它的整數子集的元素一樣多，乍一看這似乎不可理喻，因為我們不能像羅列奇數、偶數、整數那樣把有理數一個個從小到大羅列出來（因為任意給定的兩個有理數之間存在無窮多個有理數）。但是别忘了，在無窮的世界中，什麼都有可能發生！來試試看吧。

我們知道一個有理數總能寫成的形式，接下來我們可以制作一張表格，使某個有理數在這張表格的第列第行，例如把放在下面表格中的第3列第4行：

現在所有的（正）有理數便都可以放進這張由無窮多個元素組成的表格中，接着我們畫一條連續的折線去通過表格中所有的數，如下圖所示：

沿着這條折線走，我們便可以遍曆所有的（正）有理數，得到一個序列，在這個序列中我們可以把相同的數删去（如等等），使得每一個有理數以最簡單的方式恰好出現一次，因而得到一個全新的序列其中每一個正有理數有且隻出現一次，這便說明全體有理數是可數的，它可以和正整數形成一一對應。因此我們便可以知道：整數的數量實際上和有理數的數量是一樣多的。

你可能猜想：既然已經比較了那麼多種無窮大且發現它們都是可以一一對應的，那是否意味着所有的無窮大都是一樣的呢？

事實上情況遠非如此，康托爾通過缜密的分析發現了一個驚人的事實：全體實數集是不可數的，換句話說，全體實數與整數或有理數相比有根本的不同，可以說，它是更高級的“無窮大”。關于這個事實康托爾用反證法給出了一個天才般的證明：

假如有人宣稱他能完成實數與整數的一一對應，那他應該羅列出這樣的對應關系

其中這些表示整數部分，小寫的字母表示小數點後的數碼，假設這個序列包含了所有實數（當然，我們不可能真的寫出無窮多個無限小數的每一位數，那麼這張表的作者必然有自己的一套排列法則，就像我們之前排列有理數那樣）。

實際上，不難證明，任何排列法則都保證不了這樣的事情，因為我們随時可以寫出一個無限小數，它絕對不可能屬于這張沒有盡頭的表。

怎麼辦到？很簡單，首先選取一個數碼不同于，選取一個數碼不同于，同樣地，不同于等等……現在考慮無限小數

這個新的數一定不等于上表中的任意一個數，因為它的第個數碼和表格中的第個數不同，這便說明實數集是不可羅列的。

由于實數與數軸（直線）上的點一一對應，因此我們便可以回答本文一開始提出的問題：所有整數的數量和一條直線上所有點的數量，顯然是後者更大。

直觀上來看，你也許會認為有限長的線段上點的數量一定遠小于無限長的直線上點的數量，但是事實并非如此！如果我們在一條線段的和處将其折彎，再從一點投影（如下圖），由此可知，即使是有限長的線段，也一一對應了無限長的直線上的無限多個點。

同樣地，另一個看似顯然的事實往往也是錯誤的：一個二維的正方形肯定比一維的線段包含有“更多”的點。事實上，它們的數量應該相等。為了證明這一點，我們可以考慮将正方形放入平面直角坐标系中去。

如果點是單位正方形中的點，假設其坐标可以寫成十進位小數的形式：

那麼我們可以将其唯一對應到數軸上從0到1這個線段上的一點，這便說明正方形上的點和線段上的點是一樣多的。

類似地還可以證明：立方體内的點和線段上的點也是一樣多的。

無窮數學的奠基者康托爾提出：如果兩個無窮集合可以一一對應，那麼就稱其是等勢的，且它們有相同的基數，我們可以用希伯來字母（alehp，讀作阿列夫）來描述基數的大小，字母右下方的角标代表“無窮大”的“等級”：

現在我們可以說：整數的數量是，一條線段上點的數量是，就像平時我們說：嘿，這有3個蘋果，那有2支筆這麼簡單。

事實上，數學家發現，幾何曲線的種類大于實數的數量，因此我們可以用描述幾何曲線的所有種類。正如人類在浩瀚的宇宙面前驚歎于自己的渺小，在數學中，也有比無窮大更大的無窮大，真是令人感到驚異。

參考文獻[1]（美）喬治·伽莫夫.從一到無窮大[M].陽曦譯.天津人民出版社，2019.[2]（美）R·柯朗，H·羅賓. 什麼是數學——對思想和方法的基本研究[M].複旦大學出版社，2012.

來源：大小吳的數學課堂

編輯：aloysius

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