卡西歐多項式方程-tft每日頭條

歐拉在數學領域做出過很多貢獻，今天我們來講講他在無窮級數上的一些貢獻，本文作者希望通過符合邏輯的闡述還原歐拉在無窮級數領域所做的一個貢獻的推導思路，因為在作者看來這樣的思路是比較容易讓人接受的。

歐拉在研究f（x）=sinx這樣的函數時發現，可以通過泰勒展開sinx寫成如下的形式：

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）1

歐拉之前研究過幂級數，對于如下所示的幂級數的形式非常熟悉：

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）2

歐拉自然而然希望能夠将正弦函數泰勒展開變成自己熟悉的形式, 于是他應該會做如下變換：

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）3

這樣做是把之前正弦函數泰勒展開的形式轉換成比較熟悉的形式。接下來歐拉認為，既然所有非零整數倍的π都是上圖的零點，這樣的話我們是不是可以将上述的函數寫成如下的形式呢？

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）4

此時有的讀者會問了，為什麼不寫成如下所示的形式呢：

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）5

這是因為歐拉希望讓展開的形式的常數項為1，這是他比較熟悉的形式。而上圖的常數項不為1，我們甚至都看不出上圖公式展開的常數項為多少。

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）4

讓我們繼續觀察上圖所示的關系，我們不難發現我們可以将之變形為如下形式：

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）7

這時歐拉應該會用換元法将上述所得的結論轉換為他更熟悉的幂級數的形式:

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）8

歐拉對于無窮級數的如下展開形式非常熟悉，他非常清楚括号内的y一次項系數的和是展開後一次項的系數：

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）9

于是歐拉得出了這樣的結論：

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）10

雖然歐拉的推導并不是非常嚴格，但是他得到了前人未發現的有趣的結論，這個結論十分漂亮！歐拉對于數學的直覺讓他在數學領域做出了非常多的建樹，歐拉還擁有驚人的記憶力以及心算能力，在其晚年失明的情況下還能通過心算來繼續數學研究，通過聽别人的報告的數學推導内容來指出内容中的錯誤。

卡西歐多項式方程（歐拉眼中的多項式方程）11

關于歐拉你們還知道哪些他的故事呢？請評論出來吧！