82年高考數學題解答-tft每日頭條

大家好！本文和大家分享一道1978年高考數學真題。這是1978年高考數學副題的第五大題(共七道大題)，考查的是多項式的因式分解、配方法、待定系數法等方法。題幹中式子的形式看起來比較複雜，本題也難住了不少的學霸，下面老師詳細和大家講解本題的解法。

82年高考數學題解答（1978年高考數學真題）1

先看第一小問：證明函數的解析式是一個二次三項式的平方。

要證明結論，那麼我們需要将函數的解析式進行配方，使其變成一個完全平方的形式。

由題意知，p^2-4q-4(m 1)=0，即m 1=(p^2-4q)/4，代入函數解析式，得到：f(x)=4x^4-4px^3 4qx^2 2px(p^2-4q)/4 [(p^2-4q)/4]^2。

接下來就需要将解析式配成一個二次三項式的平方，那麼怎麼配方呢？

82年高考數學題解答（1978年高考數學真題）2

既然能夠配成一個二次三項式的完全平方形式，那麼我們在處理時可以把這個二次三項式中的二次項和一次項作為一個整體看待，即(ax^2 bx c)^2=[(ax^2 bx) c]^2=(ax^2 bx)^2 2c(ax^2 bx) c^2。也就是說，我們要把f(x)配成一個二次三項式的平方，我們可以先配出二次項與一次項的和的平方，這樣可得到(2x^2-px)^2的式子。我們接下來再看常數項，常數項已經是一個平方式，不需要再處理。接下來，我們就需要配出(2x^2-px)(p^2-4q)/4的形式，這樣就能得到一個二次三項式的平方。

82年高考數學題解答（1978年高考數學真題）3

再看第二小問：證明p^2-4q-4(m 1)=0。

對于很多同學來說，第二小問的難度比第一小問更小，因為題幹已經告訴了這個二次三項式，那麼隻需要将這個二次三項式的平方展開，然後再根據f(x)與F(x)是相同的多項式就可以得到一個方程組，通過這個方程組就可以證明出結論。

82年高考數學題解答（1978年高考數學真題）4

由于f(x)=F(x)，即4x^4-4px^3 4qx^2 2p(m 1)x (m 1)^2=(2x^2 ax b)^2，将右邊的完全平方式展開，得到4x^4-4px^3 4qx^2 2p(m 1)x (m 1)^2=4x^4-4ax^3 (a^2 4b)x^2 2abx b^2。從而可以得到：-4p=4a，4q=a^2 4b，2p(m 1)=2ab，(m 1)^2=b^2。

由于我們要的是p、q、m之間的關系，所以隻需要消去a和b即可。

82年高考數學題解答（1978年高考數學真題）5

相對而言，這道題的第一小問難度更大，主要是很多同學不會配方。不過，掌握方法後，這道題其實也沒那麼難。你覺得呢？