八省聯考中的小學數學，作者：benqu

對于2021年參加高考的高三學生來說，備受關注的一次考試就是八省聯考。這是針對2021年高考改革的八個省份，由教育部命制語文、數學、英語試題，以便考生熟悉改革後高考的題型和考察内容。最近，八個省份陸續公布了成績，但數學成績都不理想，江蘇省平均分也隻有69分，其他省份平均分在52分左右。

學生的平均分為何不佳？如何使他們提高成績？我作為一名熟悉小考、中考、高考、考研等國内外數學考試的“題庫”，早已料到中國學生存在的薄弱點。其中一個原因，是和小學教學相關。這次考試很多題目都是以小學數學和簡單的數學知識作為背景的，很多學生小學數學基礎不紮實，到了中學後，隻會題海戰術刷高考題，而有些小學數學的思維和方法，他們沒有建立起來，也沒有學過相應的教材或講義。因此，他們漏洞在“八省聯考”暴露出來。

下面我舉例幾題說明。“八省聯考”一共22道題，以下幾個題目，僅僅通過小學知識就可以解答。這反映了目前高考的命題趨勢：難度較低，對數學思維和基礎素養有一定的考察。

無論是小學生學數學還是學編程，首先都打下最基礎的離散數學知識，其中第一個知識點就是邏輯和集合，最基本的智能思維。什麼是集合？把幾個事物放在一個容器就是集合。{趙，錢，孫，李}是一個集合，{1,2,3,4}也是一個集合。

小學生沒有學過集合的運算和符号（交集、并集、補集、包含），但用幾句話舉例就可以教給他們了。設集合的全集R={1,2,3,4}，設M={1,2}，則M的補集就是{3,4}。M包含于N，可以設N={2,3,4}。

再看題目求解的式子，N的補集是{1}，M與它的并集就是{1，2}，就是M。

這是小學數學應該掌握的最基本的排列組合知識。學生通過窮舉法就可以解答。如果小學生不會解答，他的難點在于不會将文字叙述轉化成簡單的數學模型。

設三位同學編号1,2,3，三張卡片編号1,2,3，三張卡片的組合方式共有6種，123,132,213,231,312,321。根據題目叙述，恰有1位同學分到相應卡片的情況有3種，132,321,213，答案為1/2。

小學生在解題中，可以發現符合條件的情況是輪換對稱的。如果把題目改成：100個同學拿100張卡片，恰有一位同學拿到自己的卡片的概率。這樣學生就可以學到排列組合的基礎知識。一位同學拿到自己的卡片，後面的同學拿到不是自己的卡片。100張卡片，排列給100個人，有A（100,100），也就是100！階乘個情況。第一個同學拿到自己的卡片，第二個同學拿到不是自己的卡片，依次類推，有98！個情況，根據輪換對稱性，乘100。恰有一位同學拿到自己的卡片的概率，列式為98！*100/100！=1/99。通過這道題，小學生就掌握了排列組合的全排列知識，也給以後的代數學習打下了基礎。得出結論，n個同學拿n張卡片，恰有一位同學拿到自己的卡片的概率是1/（n-1）。

二次多項式因式分解是初一知識，有些地方小學六年級已經學完。但這道題不需小學六年級，這道題隻考了命題真假之間的矛盾，以及個位數的加減法和正負數。

題目指出，隻有一個假命題。可以看出甲，乙，丙是不能同時成立的。如果丙成立，甲乙至少有一個不成立。如果甲丙成立，則乙不成立。如果乙丙成立，則甲不成立。所以，丁一定是真命題。

所以兩個根是異号的。分情況讨論（1）甲乙成立，這與丁矛盾。排除（2）甲丙成立，x=1，另一個x=1。這與丁矛盾。（3） 乙丙成立，x=3，另一個x=-1，符合丁。所以，隻有甲是假命題。

從表面上看，這是一個多項式，但實際考察了兩個小學數學知識。第一是最簡單的等比數列。兩個數之間的比例相等，比如2,6,18,54……，這就是等比數列。這道題是一個等比數列的和的展開式。第一項是（1 x）^2，公比是（1 x）。小學數學有一個基礎知識，如何給等差數列和等比數列求和。小學數學考試的計算題第一題經常是數列求和。給等比數列求和，就是給數列的所有項乘公比，再作差即可。

我們計算等比數列的和，得到

。下面是本題考查的第二個知識，我們在數線段、數三角時候學的排列組合乘法原理。求x^2的系數，分母是x，分子是x^3。分子有左右兩個因式，右式取x^2，左式需要取x，從8個（1 x）的因式取1個x，有8種取法。

右式取2x，左式需要取x^2，從8個（1 x）的因式取2個x，有8*7/2=28種取法。28*2x=56x。

右式取1，左式需要取x^3，從8個（1 x）的因式取3個x，有8*7*6/3*2=56種取法。

所以本題答案就是這三種情況加在一起，120種取法。

這道題和常規的高中立體幾何不同，很多學生看到題就不會做。為什麼呢？因為這也是一道考察小學數學背景的題目。本題形式新穎，但對高中生做還是小學生做，難度是一樣的。這道題有幾個小難點，需要一定思考才能解決。

第一個難點是極限思想，這道題球的半徑是5，而底面的半徑也是5，所以底面恰好在直徑的圓周上。這需要你想到這種極限情況。

接下來，我們沿縱向從直接的圓周，切開球的截面，就知道了本題考查的是平面圖形，如圖所示。根據勾股定理，已知5和4，求得圓台的高是3。那麼，如何求圓台的體積？第二個難點是需要有判斷立體圖形截面圖的空間思維。空間思維是小學科學、機械、美術等學科都必須涉及的教學内容。

我們如圖可看出圓台的形狀是兩個圓錐的差，從截面圖中将圓錐補充完整，即可利用圓錐的體積公式，求出兩個圓錐的體積之差=1/3(π5*5*15-π4*4*12)=61π

這題比上題簡單，正方體是最簡單的考法，學生即使沒訓練過空間思維，在橡皮上畫圖也可直接解答。學生能想象或繪制出正方體的立體圖，即可判斷正方體上和正方體内哪些直線是相互平行、垂直。

如果把這道題改一下：正二十面體上的棱，可以構成多少對平行線？這就是一道小學競賽題。需要學生想象正二十面體的空間形狀，判斷正二十面體的對棱平行。正二十面體有30條棱，每條棱有一個平行的對棱，所以答案為30。

這道題仍然是小學概率題的列舉法，無論對小學生還是中學生都是送分題。題目問1,2至少1個調整的概率，就是1減去1,2都不調整的概率。1-0.9*0.8=0.28。

第二問是期望，小學生如果還沒學過期望的術語，但應理解期望的别名“預期的均值”。三個部件調整的概率分别是0.1,0.2,0.3，那麼預期總共調整幾個部件？這個均值就是0.1 0.2 0.3=0.6。學生如果不理解，可以先問，擲三個骰子，點數之和的期望是多少？學生可以發現3.5 3.5 3.5=10.5。數學家卡爾達諾就是最早通過擲骰子提出并記錄了期望的概念。

這道立體幾何本質又是一道小學題。第一問考察的是閱讀理解，題目給出了正四面體的曲率計算公式。第一問四棱錐的曲率。正四面體的公式是4*（2π-3*π/3）。

正四面體有五個頂點，首先要5*2π。底面有四個頂點，每個頂點有三個面角，分别是90度，45度，45度，共計4*（π/4 π/4 π/2）=4π。另外一個頂點，有四個面角，都是90度，共計4*π/2=2π。所以，正四棱錐的曲率套用公式得5*2π-4π-2π=4π。

第二問問任何多面體的情況。題目給出了歐拉公式。V頂點數-E棱數 F面數=2。歐拉公式在初中課本和一些小學教材上就有，學生應該知道，所以這個提示是多餘的。題目給出這個提示，就是直接告訴你此題的解題方法是要套用這個公式，也就是要把這道題的分數送給你。但如果稍加難度，不提示這個公式，學生也應該知道，問任何多面體有關的問題，先要考慮歐拉公式。

第二問如何套用公式，采用的是在高一化學學習原子結構時，一個基本的方法叫均攤法。小學數學的一些空間思維題就有這個方法。例如足球是由五邊形和六邊形組成的多面體，六邊形是20個，問五邊形多少個？答案是12個。這是我小學時一道小學奧賽題，距今已經20多年了。還有碳60有60個頂點和32個面，其中12個為正五邊形，20個為正六邊形。這是一套中學化學題。解決這種多面體的結構問題，方法就是均攤法。多面體的任何一條棱都被兩個面公用。

根據題目的公式：總曲率=2πV-所有面内角和。題目要證明總曲率為4π，那麼V-所有面内角和/2π=2，需要證所有面内角和=2π（E-F）。另外一個小學知識，是多面形内角和（n-2）*2π，所有面内角和加在一起，是-2πF π面數和。根據均攤法，2E=面數和。就可以得出所有面内角和=2π（E-F）。

總結：小學數學是數學的基礎，是純粹的數學。一些高中生采用題海戰術，數學成績不佳。因為他們在小學時沒有打好基礎，内功不足。所以，小學數學的教育切不可降低要求，否則會給今後的數學學習帶來隐患。這次八省聯考的考試，僅憑小學數學知識能解答的題目有54分。而其他題目也不乏需要小學數學的基礎。而這次考試的平均分在50左右，說明大部分高中生通過題海戰術都處在這個分數段。學數學應該“四兩撥千斤”。如果他們能在小學時接受更多思維的拓展，在學習數學最好的年齡段練好内功，他們在高中就不需要題海戰術，隻需要有的放矢地擴充數學體系。對于智商中等的學生來說，打好小學數學基礎，這次考試的平均分應該達到110-120分左右，再補充高中數學的知識點，這張試卷取得滿分隻是仔細程度的問題。這張試卷并沒有考察複雜的思維能力，仍然是隻涉及高中基礎知識和簡單思維的低難度試卷。