一、探索性問題

是指對數學問題能在實驗、猜想、合情推理的基礎上，進行探索和研究，并予以證實；并能在新的情景中正确地表述數量關系，在創造性地思考問題的基礎上，對較簡單的問題得出一些新穎的結果。

例1 已知角α、β、

為銳角，且

，試求

的值。

解：這類求關系式的值的問題一般的解題策略為，先特值确定所求關系式的一個值，然後猜想所求關系的值為該值，再證明。

首先分别令α、β、都為

，

＝1，于是猜想

的值為1。對猜想的結論進行證明：

證明：左邊＝

二、開放性問題

例2. 設函數

，若是偶函數，則t的一個可能值是__________。

解法1：由已知得

又因是偶函數

所以

所以

恒成立

所以

解法2：是由f(x)平移得到的，是偶函數，所以可以設

而

，所以t可以為

例3 已知函數

，試寫出它的一個性質__________。

分析：中學數學讨論的函數性質有函數的定義域，值域（包括最大值和最小值），單調性，奇偶性，周期性等，函數是由兩個十分常用的函數y＝sinx和y＝cosx組成，在同一坐标系中畫出這兩個函數的圖像即可得到函數f(x)的圖像，根據圖像便可以讨論該函數的性質。

解：據該函數的圖像（圖像略）可以得到如下結論：

（1）此函數的定義域是R；

（2）該函數的值域是

；

（3）該函數是以2π為最小正周期的周期函數；

（4）當且僅當x＝2kπ和x＝

時，該函數取得最大值1；

（5）當且僅當

時，該函數取得最小值

；

（6）在

上是增函數，在

是減函數，在

上是增函數，在

是減函數。

以上各性質隻需回答其一。

三、判斷真假性問題

例4 采用如下方法判斷函數

的奇偶性是否正确。

因為

是奇函數，所以f(x)是奇函數。

解：此解答是錯誤的。由于簡化過程中約去了分子、分母的公因式

，使得

因定義域不同而不是同一個函數，故不能應用約分後的函數直接求約分前函數的奇偶性，本例的正确解答是：

令

，得一特解

的函數值。

因為

，而

無意義。

所以函數f(x)的定義域關于原點不對稱。

故函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數

四、模仿解答問題

例5 閱讀下面例題解法：實數x、y滿足

，

＋

的值。

解：設

，化簡後得：

解得

因為

所以

因為

所以

試用上述解法解下列問題：已知

求

的最大值。

解：因為

設

所以

因此當

時，M有最大值

五、運用方程思想解題的問題

例6 已知

。

分析：

，和同角三角比的關系式

聯立形成一元二次方程求出

，這樣

為一個一元二次方程的兩個解，再求

。

解：因為

所以

因為

所以

是一元二次方程

的兩個解。

，

，所以

。

例7 已知

且α為第三象限角，求sinα與cosα。

解：

，因為α為第三象限角

所以

由此可得

，

所以

的兩個解

所以

六、追溯條件性問題

例8 請你寫出一個關于α的等式并加以證明，要使得等式

是你給出的等式中當α＝20°和α＝15°時的情形。

分析：注意到這兩個等式中三角比之間的運算方式相同，每個等式中的兩個角之間都是相差30°，根據這些特征便可構建一個關于α和α＋30°角所滿足的等式。

解：命題：

證明：左邊＝

說明：歸納概括一系列數學等式所具有的共同性質，從而猜想并證明具有一般意義的數學結論，使得原有的結論成為特例，這種由特殊到一般的推廣，是數學研究中常用的方法之一。

七、有關數學建模問題

例9 如圖1，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的内接正方形PQRS為一水池，其餘的地方種花。若BC＝α，∠ABC＝θ，設△ABC的面積為S₁，正方形的面積為S₂。

（1）用a，θ表示S₁和S₂；

（2）當a固定，θ變化時，求

取最小值時θ的值。

圖1

解：（1）因為BC＝a，∠ABC＝θ

所以AB＝acosθ，AC＝asinθ，

所以

又因為

所以

所以

（2）

所以

有最小值，最小值為

八、在物理中的應用問題

例10 已知電流I與時間t的關系式為：

（1）圖2是

在一個周期内的圖像，P（

，0），Q（

，0），試根據圖中數據求

的解析式；

（2）如果t在任意一段

秒的時間内，電流

都能取得最大值和最小值，那麼ω的最小正整數值是多少。

圖2

解：（1）

（2）因為

。

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