這是百度上看到的江蘇省中考幾何題。第一感覺就是送分題，為什麼老師說很多學生拿零分呢？
江蘇省中考幾何題
作AE⊥BC，這是第一感覺，因為△ABC是等腰直角三角形，有AE=BE=CE，線段AE可以作為中介利用勾股定律溝通線段AD與線段BD、CD之間的聯系。
作輔助線
△AED是Rt△，設AD=a，BD=b，CD=c，則AE=(b c)/2，DE=(b-c)/2，由勾股定理得：((b c)/2)² ((b-c)/2)²=a²，化簡即有b² c²=2a²。證畢。
再看老師的解法是類似的，大多數人都會這樣去做。感覺沒有特别難的地方。
老師的解法
現在給出其他兩種解法。如果你是高中生，可以用向量和三角函數來解，這樣做也很方便。
第一種方法，用向量來做。
設向量AB=a，向量BD=b，向量DC=c，則
向量AD=a b，
向量DC=(√2丨a丨-丨b丨)b/丨b丨。
設向量
AD²=(a b)²=a² 2ab b²
=a² b² 2丨a丨丨b丨cos135°
=a² b²-√2丨a丨丨b丨
BD²=b²，
DC²=((√2丨a丨-丨b丨)b/丨b丨)²
=2a² b²-2√2丨a丨丨b丨，
所以，2AD²=BD² DC²。
第二種方法，用三角函數來做。如圖設線段的長度和角度。
設線段的長度和角度
由正弦定理得
a/sin45°=b/sin(90°-α)=b/cosα，即
cosα=√2b/(2a)。①
a/sin45°=c/sinα，即
sinα=√2c/(2a)。②
由①、②得
cos²α sin²α=(b² c²)/(2a²)=1，即
b² c²=2a²。
總結一下：這個中考幾何題不算難題，可以說是送分題。這裡給出的向量解法和三角函數解法可以拓展學生的思路，深入領會數學理論對解題的應用。
這裡是輕松簡單學數學，用最簡方法，學最難數學。隻要我們數學概念清楚，條條大路通羅馬，而且都是捷徑。
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