知識點1 反比例函數圖象的畫法

1.描點法畫 圖象的一般步驟

(1)列表：反比例函數自變量的取值範圍是所有

(2)描點：以自變量x的取值為

(3)連線：按從左到右的順序用平滑的曲線連接各點，雙曲線的兩個分支是

劃重點

畫反比例函數圖象的特點

①反比例函數中自變量x≠0，則y≠0，反比例函數的圖象的兩個分支都無限地接近但永遠不能達到x軸和y軸，所以圖象與x軸、y軸沒有交點.

②畫實際問題中的反比例函數圖象時應注意自變量的取值範圍，它可能是單支，也可能是雙曲線的一部分.

2.

對于同一個非零實數x， 與 的函數值互為相反數，因此函數與(k為常數，k≠0)的圖象關于x軸對稱.

3. 反比例函數的圖象

反比例函數

圖象是由兩支分别位于兩個象限内的兩條曲線組成的，這兩支曲線稱為雙曲線.例如：

拓展

雙曲線是關于原點成中心對稱的圖形， 對稱中心是原點，它也是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和y=－x.

示範例題

(單選題)[2020廣東珠海香洲區期末]函數

的圖象大緻是(　　)

A.A

B.B

C.C

D.D

【答案】B

【解析】根據反比例函數圖象的畫法，描點畫圖可知應選B.

知識點2 反比例函數的圖象和性質

1. 反比例函數的圖象和性質列表如下：

反比例函數的增減性

(1)反比例函數圖象的位置和函數的增減性是由比例系數k的符号決定的，反過來，由雙曲線所在的位置和函數的增減性，也可以判斷k的符号情況.

(2)反比例函數的增減性不是連續的，它的增減性都是在各自的象限内的增減情況.

2. 反比例函數的函數值的比較

要比較反比例函數的函數值的大小，要特别注意判斷所給自變量的值是否是圖象同一個分支上的點的橫坐标.

(1)若給出的自變量的值是同一個分支上的點的橫坐标，要根據反比例函數中y随x的增減變化來确定；反之亦然.

(2)若不在同一分支上，要根據y的正負來比較大小

示範例題

例題1.(單選題)[2020遼甯沈陽沈河區月考]在反比例函數

圖象的每一支曲線上，y都随x的增大而減小，則k的取值範圍是（ ）

【答案】D

【解析】根據題意得

， 解得

．故選D．

知識點3 反比例函數中k的幾何意義

1. 過圖象任一點作坐标軸垂線，與坐标軸圍成的矩形面積

如圖所示，過雙曲線

上的任意一點P(x,y)作x軸 y軸

的垂線PM，PN.

2. 過圖象任一點作某一坐标軸垂線并連結該點與原點，圍成的三角形面積

劃重點

(1)

可以看作是矩形的面積，并且隻要函數式已經确定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐标軸的垂線和兩坐标軸圍成的面積始終是不變的．

(2)已知反比例函數可求矩形面積，反之，已知矩形面積可求反比例函數，此時如果沒有指明反比例函數圖象的位置，k的值往往存在兩種情況.

示範例題

例題1.(單選題)如圖，在

的圖象上有三個點A，B，P，過這三個點分别向x軸引垂線，交x軸于C，D，E三點，連接OA，OB，OP，設ΔOAC，ΔOBD，ΔOPE的面積分别為S1，S2，S3，則有( )

A.S1=S2=S3

B.S1＜S2＜S3

C.S1＞S2＞S3

D.S2＞S1＞S3

要點1 函數圖象共存問題

解決函數圖象共存問題有兩種思路：

(1)根據函數表達式分析圖象

比如對于反比例函數與一次函數，可以先假設反比例函數中的比例系數為正(負)，判斷對應的一次函數圖象經過的象限，再對照選項進行确認或者排除.

(2)根據選項分析函數表達式中有關系數

判斷函數圖象是否共存時，先利用其中一個函數圖象确定待定字母的取值範圍，然後利用函數圖象的分布特征進行判斷.

示範例題

例題1.(單選題)[2020河北邯鄲複興區二模] 若

，則正比例函數

與反比例函數

在同一平面直角坐标系中的大緻圖象可能是(　　)

A.A

B.B

C.C

D.D

要點2 反比例函數與一次函數圖象的交點問題

1.反比例函數與正比例函數圖象的交點

設反比例函數y＝

(k1≠0)，正比例函數y＝k2x(k2≠0)，則

(1)當k1k2>0時，兩函數圖象有兩個關于原點對稱的交點；

(2)當k1k2<0，兩函數圖象有0個交點.

函數y＝和y＝k2x圖象可能的情況如下圖.

2. 反比例函數與一次函數圖象的交點

設反比例函數為

3. 根據反比例函數與一次函數圖象解不等式

示範例題

例題1.(單選題)[2020廣東廣州中考數學訓練(一)]如圖，正比例函數

的圖象與反比例函數

的圖象相交于A，B兩點，其中點A的橫坐标為2，則不等式

的解集為(　　)

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