怎樣快速認識三角形和幾何圖形?[數學科普]：談對最簡圖形三角形的認識（彭彤彬），下面我們就來說一說關于怎樣快速認識三角形和幾何圖形?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

怎樣快速認識三角形和幾何圖形

[數學科普]：談對最簡圖形三角形的認識（彭彤彬）

自然中最簡圖形是什麼？除組成圖形的基本元素點線面外，基本圖形中最簡圖形就是三角形。

三個木棒就能拼成一個三角形。

三個石塊，用一根繩纏繞它們一周并拉緊繩，就形成一個三角形。

首先我們知道，三角形具有良好的穩定性，即三邊定了，三角形就不可改變了。而其他多邊形的邊一定時，形狀可任意改變的。

這個穩定性，在現實中有廣泛應用。

正因為它的最簡性和應用廣泛性，迫使人們對它加以關注并進行研究。

面對一個圖形，人類是如何認識它的呢？

人們知道，三角形就三條邊及三個角，共六個元素，這六個元素，它們中一個有什麼取值特點？它們中的幾個或全部，互相之間有什麼關系呢？

這是最基本的問題，但這個問題的答案衆多，涉及到的知識廣泛，人要學好多年才能弄清楚。

人常從哪些方面方面研究三角形呢？

1.形狀：①一個的形狀，涉及特殊三角形和一般三角形，即有三角形分類。一個的形狀，涉及邊的長短，角的大小，就有邊長短及其之間關系，角大小及其之間關系。

②二（或多）個的形狀，涉及到相同不相同，相等不相等，即全等不全等，相似不相似。

2.大小：涉及周長及面積，面積涉及高。

3.涉及知識：邊有長短，涉及邊的度量和長短比較，角有大小，涉及角的度量及大小比較，邊角之間關系涉及三角函數定義、公式等知識。

4.三角形性質研究：涉及三角形的有關概念和性質。如三角形重心，垂心，内心，外心。外接圓，内切圓。

5.三角形知識應用：求解有關圖形問題。

人在接觸大量三角形後，開始認識了特殊三角形，如等邊三角形，等腰三角形，非等腰三角形，直角三角形，非直角三角形，就完成了對三角形的分類。

按邊分有等腰三角形，不等邊三角形，等腰三角形中有等邊三角形和非等邊三角形。

按角分有銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，直角三角形中有等腰直角三角形和非等腰直角三角形。非等腰直角三角形中還有一個一角是30度的特殊直角三角形。

人完成了對三角形的感性認識後，就對三角形的邊角進行了探讨。

人知道，兩點之間直線段最短，總結出邊的性質：三角形中任兩邊之和大于第三邊，特别是兩較短邊和大于最大邊。由此推出：任兩邊之差小于第三邊。結合兩者得到三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊。

人們在對三角形中三角的度量中，首先得到了等腰直角三角形中兩銳角都為45度。進一步得到直角三角形中兩銳角互餘，并進行了證明。

發現直角三角形三角和為180度。又發現等邊三角形每角為60度，三角和為180度。進而對等腰三角形内角和進行了探讨，得到也為180度。

人猜測任意三角形三内角和為180度，最後完成了證明。人終于得到了一個關于三角形的一個完美的結論。這樣，在任意三角形中，知道兩角就可以求出另一角了。

人對三角形的初始研究中，還發現了下列結論：

等邊對等角，等角對等邊。

大邊對大角，大角對大邊。

三角形中最大角不能小于60度，最小角一定小于60度。

等邊三角形有三條對稱軸，等腰三角形有一條對稱軸，等腰三角形的頂角平分線，及其底邊上的高，底邊的中線重合。

等邊三角形，等腰三角形，直角三角形的三條高過同一點。并進而猜測并證明了任意三角形的三條高都過同一點，這點叫三角形的垂心。

在研究三角形的外接圓與内切圓時，人們發現并證明了三角形的三邊中垂線交于一點，這點叫三角形的外心，三角平分線交于一點，這點叫三角形的内心。

在研究三角形邊的中線及中位線時得到了三角形三邊中線交于一點，并且三等分每條中線，這點叫三角形的重心。因為一塊均勻的三角形木闆，在其重心處穿一線将木闆吊起來時，木闆可以保持水平狀态。三角形兩邊的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。

早期對一個的三角形研究和認識，大緻到此為止了。

早期人們還從不同的三角形可能形狀大小完全相同，可能隻有形狀相同而大小不同出發進行了研究。引出了全等三角形和相似三角形的概念。并得到了它們的性質和判定。

兩個可以重合的三角形叫全等三角形。其性質：全等三角形三邊對應相等，三角也對應相等。其判定有三個：①三邊對應相等的三角形全等，②有兩邊及夾角對應相等的三角形全等。③有兩角及夾邊（或有兩角及其一角對邊）對應相等的三角形全等。

有了這些知識後，我們就可用全等三角形知識先判定三角形全等，然後就可證明出線段等與不等，角相等不等，并可比較線段長短與角的大小。

當兩個三角形形狀相同大小不同時，規定它們為相似三角形。得到了性質：相似三角形對應角相等，對應邊成比例。得到了判定：①三邊對應成比例的三角形相似。②兩邊對應成比例，夾角相等的三角形相似。③兩角對應相等的三角形相似。

有了相似三角形知識，我們可證圖形中的等相等，邊之間的關系。

早期人還研究了一個三角形的大小。主要從周長和面積出發。

要圍成一個三角形，需多長的繩或木條？周長大可作的三角形就大，周長小可作的三角形就小。其實周長就是三邊之和。

一個三角形占有平面的大小，我們稱作這個三角形面積。

三角形面積如何求？它有什麼性質和應用？

人們通過研究，發現求面積公式為一邊長與此邊上高之積的一半。發現等底等高的三角形面積相等。全等三角形面積相等，相似三角形面積比等于相似比的平方。任何封閉圖形面積可分割成三角形來求。

在研究并得到了上面關于三角形基本知識後，人們認識到它的作用巨大，能解決許多問題，但也覺得欠缺不小：如角之間有等式關系結論，直角三角形中邊之間的等量關系也有，為勾股定理，但一般三角形中，三邊之間或邊角之間有等量關系嗎？有等量關系，那就更完美更高級，相應能解決的問題就更多了。所以人想進入更深入的研究。

但人們遇到了難題，一時找不出相應的等式結論。

這要等，等另一個方面的知識建立并完善後才能進行。

由于現實生活和生産的需要，人們逐漸形成了三角函數的概念，并給出了定義：在直角三角形中，一銳角的正弦值等于其對邊與斜邊之比值，一銳角的餘弦值等于其鄰直角邊與斜邊之比值，一銳角對邊與鄰邊之比值等于它的正切。

這樣就得到了直角三角形的邊角等量關系，結合早年得到的直角三角形中兩直角邊的平方和等于第三邊的平方，兩銳角和為90度，就可解所有直角三角形，即已知直角三角形中一些邊角，可求出其他的所有邊角。

有這就可找出一般三角形的邊角等量關系嗎？

不行，人們還要等。因為三角形中内角有鈍角，但上面隻有銳角三角函數定義。

後來，人對角概念進行了推廣，推廣到任意角，并定義了任意角的三角函數，才為解決問題掃除了障礙。

有了任意角的三角函數定義及知識後，人們回過頭來，研究三角形，終于得到了任意三角形中邊角間的等量關系，即為現今的正弦定理和餘弦定理。

正弦定理：三角形任一邊與其對角的正弦值之比不變，為一個常數，這個常數等于這個三角形的外接圓直徑。

餘弦定理：三角形中，任一邊的平方，等于另兩邊的平方和，與另兩邊及它們夾角的餘弦值積的2倍之差。

它們都可用來解任意三角形，即已知三角形中的某些邊，求其餘的邊角。

利用正弦定理可解下列三角形：

①已知兩角及一邊，求其餘邊角。

②已知兩邊及其一邊對角，求其餘邊角。

利用餘弦定理可解下列三角形：

①已知三邊，求其三角。

②已知兩邊及其夾角，求其餘邊角。

仔細體會一下：這其實是三角形全等保證了的（當然有些不同）。

你看：三邊對應相等的三角形全等，不就是說三角形中已知三邊長度，三角就定了嗎，但它沒告訴我們怎麼求三角，有了正餘弦定理，這問題就解決了。

你看：二邊及夾角對應相等的三角形全等，不就是說三角形中已知二邊長度和夾角大小，其餘兩角及一邊大小就定了嗎，但它沒告訴我們怎麼求另二角和第三邊，有了正餘弦定理，這問題就解決了。

你看：二角及夾邊（或一角對邊）對應相等的三角形全等，不就是說三角形中已知二角和某一邊大小，其餘兩邊及一角大小就定了嗎，但它沒告訴我們怎麼求另二邊和第三角，有了正餘弦定理，這問題就解決了。

當然已知兩邊及其中一邊對角對應相等兩三角形不一定全等，但仍可用正餘弦定理來解，不過我們知道的，這個時候可能無解，可有一解，還可有兩解。

有了正餘弦定理後，還可得到求三角形面積的另外公式，如：三角形面積等于任兩邊及其夾角正弦值之積的一半。如已知三邊求面積的公式，在這裡略去。

至此，有關三角形的基本知識就完美了，就可應用它們去深入研究三角形的更多更複雜的性質，去解幾何圖形中的許許多多有關問題了。

三角形的這些基本知識分布在小學，初中，高中的課本裡，人們需要經過十多年的知識積累和本内容知識的學習，才能得知和掌握的。

用三角形的這些基本知識研究和解決的問題，曆史上，層出不窮，如今累積起來的可供人們去解的題目，可謂浩如煙海，幾十本書也寫不完的。

你知道多少？

你掌握了多少？

你用它們來研究了多少新的東西？得到了多少可用的結論？

沒聽說直角三角形中的勾股定理有幾百種證法嗎？

沒聽說圓的面積可用許多三角形組成的圓内接多邊形或圓外接多邊形的面積去近似代替，而要得到圓的面積公式，隻需要取一個極限嗎？

三角形的上面的知識是基礎知識。基礎知識的作用是巨大的，是更高深理論的基礎，我們怎麼能不去學習和掌握它們呢？