極值點求法的第二充分條件?極值一共有三個充分條件(非必要條件)，老黃前面已經介紹了兩個，這裡老黃要繼續介紹極值的最後一個充分條件，極值的第三充分條件，也是極值的終極求法因為大多數函數應用第一、二充分條件就足夠了，所以很多人并不熟練第三充分條件，現在小編就來說說關于極值點求法的第二充分條件?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

極值點求法的第二充分條件

極值一共有三個充分條件(非必要條件)，老黃前面已經介紹了兩個，這裡老黃要繼續介紹極值的最後一個充分條件，極值的第三充分條件，也是極值的終極求法。因為大多數函數應用第一、二充分條件就足夠了，所以很多人并不熟練第三充分條件。

定理：(極值第三充分條件)設f在點x0的某鄰域U(x0,δ)内存在n-1階導函數, 在x0處n階可導，且f^(k)(x0)=0 (k=1,2,…,n-1), f^(n)(x0)≠0, 則

1、當n為偶數時, f在x0取得極值，且當f^(n)(x0)<0時取極大值, 當f^(n)(x0)>0時取極小值.

2、當n為奇數時, f在x0處不取極值.

證明的前半部分和第二個充分條件非常相似，這裡就不做詳細分析，如有看不懂的地方，可以看老黃上一篇關于極值第二個充分條件的作品介紹。

證：f(x)=f(x0) f’(x0)(x-x0) f”(x0)(x-x0)^2/2… f^(n)(x0)(x-x0)^n/n! o((x-x0)^n).

∵f^(k)(x0)=0(k=1,2,…,n-1),

∴f(x)-f(x0)=f^(n)(x0)(x-x0)n/n! o((x-x0)^n)=[f^(n)(x0)/n! o(1)](x-x0)^n.

又f^(n)(x0)≠0，∴存在正數δ’≤δ，使當x∈U(x0,δ’)時，f^(n)(x0)/n!與f^(n)(x0)/n! o(1)同号.

當n為偶數時，有【關鍵是(x-x0)^n>0】,

當 f^(n)(x0)<0時，f(x)-f(x0)<0，即f(x)<f(x0)，f在x0取得極大值.

當 f^(n)(x0)>0時，f(x)-f(x0)>0，即f(x)>f(x0)，f在x0取得極小值.

若n為奇數且f^(n)(x0)<0，有f^(n)(x0)/n! o(1)<0

當x0<x<x0 δ’時，f(x)-f(x0)<0，即f(x)<f(x0).【(x-x0)^n>0】

當x0-δ’<x<x0時，f(x)-f(x0)>0，即f(x)<f(x0).【(x-x0)^n<0】

即f(x)遞增.

同理可證，當n為奇數且f^(n)(x0)>0時，f(x)遞減.

∴當n為奇數時, f在x0處不取極值.

下面來看一道例題，加深對這個定理的理解：

求f(x)=x^4(x-1)^3的極值點與極值.

解：f(x)=x^7-3x^6 3x^5-x^4,【因為下面要求好幾階導數，化成這個形式比較方便。觀察發現，這個函數在整個定義域上都n階可導。當然，七階之後就沒有什麼意義了】

當f’(x)=7x^6-18x^5 15x^4-4x^3=x^3(x-1)^2(7x-4)=0時, x=0,x=1或x=4/7.

f”(x)=42x^5-90x^4 60x^3-12x^2,

f”(0)=0, f”(1)=0，f”(7/4)=64/49>0.【可見x=4/7符合極值的第二充分條件】

f”’(x)=210x^4-360x^3 180x^2-24x, f”’(0)=0, f”’(1)=6(非極值),

f^(4)(0)=840x^3-1080x^2 360x-24, f^(4)(0)=-24<0,

∴在x=4/7取得極小值f(4/7)=-6912/823543; 在x=0取得極大值f(0)=0.

函數的大緻圖像如下：(在(0,1)上的圖像相當難畫)

最後總結一下運用極值第三充分條件，求極值點和極值的一般步驟：(忽略第一充分條件)

1、運用極值第二充分條件；(先求得部分符合第二充分條件的極值)

2、當f”(x0)=0時，求三階導函數；

3、若f”’(x0)≠0；x0不是極值點；

4、當f”’(x0)=0，求四階導函數，依此類推，

5、直至f(n)(x0)≠0；

若n為奇數，則x0不是極值點；

若n為偶數，當f(n)(x0)<0時, f(x0)是極大值；

當f(n)(x0)>0時, f(x0)是極小值.

您掌握了嗎？