昨天發了數集的前半部分，有興趣的小夥伴們戳這裡。

今天咱們從有理數開始接着說。

實數、無理數

實數：real number。實數集用R表示。

實數是在有理數集合上增加了無理數的結果。

有沒有人想過這個問題：

整數，分數，奇數，偶數，這些名稱都勉強能理解；

“有理數”是什麼鬼？因為它比較有理？

無理數就更奇怪了，它哪裡失去理智了？

不是無理數失去理智，是曆史上要消滅無理數的人們失去了理智。

數集擴展到有理數，人們一度覺得這回差不多夠用了。

你看，四則運算封閉了，數集又是稠密的。

從宏觀上看，有理數要多大有多大。

從微觀上看，有理數之間的縫隙要多細有多細，感覺已經跟沒有縫隙差不多了（可惜這隻是感覺）。

所以在公元前500年左右，古希臘的主流學術代表畢達哥拉斯學派認為，有理數是自然、連續銜接的（其實并不是），有理數和數軸也實現了一一對應（其實也并不是）。

所以畢達哥拉斯學派認為，“一切數均可表示成整數或整數之比（分數）”；這個數集代表着完美，理性，理智；有理數集無敵于天下！

今天我們知道，做判斷題時有一個屢試不爽的規律：隻要一句話說的太絕對，口氣很強硬，說不存在任何反例的，那麼它十有八九都是錯的。

這個故事也是一樣。

很快就出現了一個反例：

一個人的出現，動搖了畢達哥拉斯學派建立在有理數基石上的整個哲學大廈的根基。

這個人的名字叫做希帕索斯（Hippasus，也譯成希伯斯）。他是無理數的發現者，也是受害者。

兇手就是有理數的衛道士們。

具體來說就是，這個希帕索斯是畢達哥拉斯的學生，也是畢達哥拉斯學派的成員。

他經過反複研究發現，邊長為1的正方形（一說正五邊形）的對角線長度很詭異，似乎不在有理數的範圍裡。

他沒有能給出嚴格的證明，但是他能确定的是，這個對角線長不是有理數。

于是他就正式對畢達哥拉斯學派之前的結論提出了質疑。

這一下就捅翻了馬蜂窩：

正規說法是所謂的三大數學危機的第一次。

畢達哥拉斯學派很不開心，後果很嚴重。

要知道當時的這個學派可不是什麼善男信女組合，也不是什麼文質彬彬的知識分子，整天坐而論道。

倫家是當時的主流學派，在社會上名聲很大，結交的都是上層社會的名流，搞的沙龍都是會員制的，不是敲門就能進的。而且，他們隔三岔五還要去給國家最高領導人上個數學課什麼的，類似于後來的英國皇家科學院。

你想，這麼一個高大上的團體，怎麼會容得自己的哲學理論被人質疑。

更何況是公開的尖銳質疑！

又更何況質疑者還是他們自己的一員！

面對這個啪啪響的耳光，畢達哥拉斯和他的學生們沒有認真反省自己理論的不完備，更沒有對希帕索斯的結論進行研究和吸收；相反，他們很憤怒，采取的對策是不遺餘力的打壓，要把鬥争升級：要武鬥，不要文鬥。

畢達哥拉斯說，我們不僅要在學說上把你搞臭（比如把新發現的這個數稱為無理數），更要在肉體上把你消滅。

希帕索斯聽到消息就跑路了，過了幾年遠遁海外亡命天涯的日子，後來還是被抓住：最後的結果是被裝進大口袋裡扔進了大海。

無理數的發現者就這麼被殺害了。

科學和曆史的道路上，從來就不缺殘忍的爛帳、可笑的陰謀。

知道這個故事之後，每當看到“無理數”這三個字，我看到的确實是無理，但不是正方形對角線的無理。

這個對角線惹着誰了？它客觀地、靜靜地存在着，千百年從未變過，隻等着大家來發現，何無理之有？

“無理數”這個名稱，作為一個帶血的昭示和無聲的證據，警戒着那些硬要對自然知識和科學研究扣上帽子的人們：

無理的是固步自封，無理的是絞殺進步。

同時，它襯托出來的是那些孤身前行，敢于質疑權威的偉大學者的不朽光輝。科學從來就不是循規蹈矩者所認定的理想當然，更不是某個服務于統治階級的政治集團或學派手中的玩物。她隻會垂青于永不滿足現狀，永不放棄夢想，願意付出自己的智慧、力量乃至生命而不懈探索的追尋者。

正義女神有時候蒙着眼，但她一定明察秋毫。

曆史的時鐘流轉千年，科學終向希帕索斯還以清白。

現在我們仔細看，希帕索斯發現的這個對角線的長度。

當今接受過一定教育的人們都知道，根據勾股定理，邊長為1的正方形對角線的長度是

。

那麼問題來了：

确實不是有理數嗎？

确實不是。

為什麼呢？

之前說過，相對枯燥的證明不是咱們的本意，所以無興趣的童鞋請跳過下面斜體部分：

已知：有一個數是

。（這算神馬已知？！）

求證：它不是有理數。

用反證法：與需要證明的結論做一個相反的假設，在此基礎上用正确的推導過程推出錯誤，就能證明假設不成立。

也就是說，先假設

是有理數，看看會不會推出什麼毛病來。

根據定義，任何一個有理數都可以表示成p/q的形式，其中p,q都是整數。

光這個設定一會還不夠推出矛盾，我們還要更進一步：要設定這個p/q是既約分數——通俗的說就是p和q已經不能再約分了（不記得約分的童鞋看過來：兩個數一起除以一個大于1的整數，還能得到兩個更小的整數，這個過程就叫約分，比如6/8=3/4，9/15=3/5等）。

由于約分的過程一定是有限的，所以我們一定可以用已經約到底，不能再約的結果作為這裡的表示式p/q。

下面正式開始推導：

對

=p/q兩邊平方，得到2q*q=p*p。

q是整數，所以等式左邊就是個偶數。

那麼右邊也就得是個偶數，所以p得是偶數。

所以p可以表示為2p1，其中p1是整數。

再代入上面那個等式，就是2q*q=(2p1)*（2p1）=4p1*p1，也就是q*q=2p1*p1。

這個新的等式右邊是偶數，那左邊也得是偶數，從而q也是偶數。

這就矛盾了！剛剛說了，p和q是已經約到底不能再約了的，怎麼現在冒出來它倆都是偶數，兩個偶數還可以再用2去約呀。

說好了不約，怎麼又約。到底約不約，能不能有個準！

結論是，“

是有理數”的假設不能成立。

所以

不是有理數。

這個簡單漂亮的證明過程是有主人的，它歸大數學家歐拉版權所有。

那

到底是什麼？

不是有理數，就隻好叫無理數。

也就是說，無理數是在我們認識的有理數之外的一群數，他們以

為典型代表，不在有理數的管轄區裡。

比如

，π 1，3e等等。

如果都化成小數來看，那麼：

整數就是小數部分為0的特殊小數（4=4.0）；

分數分為兩種，有限小數（比如1/4=0.25）和無限循環小數（1/7=0.142857142857…）。

這三類小數都是有理數。

無理數就是無限不循環小數，大家最熟悉的就是

π=3.1415926……，

e=2.7182818284590……，

=1.41421356……，

等等。

這些數都是實際存在的，都是要在數軸上有自己的座位的。

所以，有理數隻稠密，不連續。

稠密是說，要多擠有多擠；不連續是說，不管你有多擠，中間還是存在着好多好多的空當，永遠填不滿。

這兩者并不矛盾。

用前文的例子來說，無限長的公路兩側，有幾乎無限多的塵埃細沙，細沙之間的空隙要多細有多細——但是空隙始終存在，這就叫稠密不連續。

而把無理數這個新的補丁再補充到數有理集裡來，形成的這個新的數集叫什麼呢？

由于它們都是實際存在的數，所以叫實數。

實數集空前強大：

首先，實數集無限。

而且，實數集的這個無限的等級比有理數、整數、自然數都高！

專業的說法是，有理數、整數、自然數的無限等級是阿列夫零，實數的無限等級是阿列夫一。

我們這是科學的普及和漫談，不是高等數學的專業研究，小夥伴們隻要明白，阿列夫一是比阿列夫零更高級的存在就可以。

類似說大家都是神仙，但是有理數、自然數這些隻是地上的燈籠鬼、狐仙之類的散仙；而實數已經是天上的有正規編制的大仙了，至少也是赤腳大仙。

其次，實數集不可列。由于實數已經在宏觀和微觀上都臻于化境，所以對實數進行窮舉是不可能的；想要像有理數那樣，找到一個規律然後把所有的數都按照順序列出來，也是做不到的。

不用說整個實數集，就是任何兩個實數（比如0和1）之間，想要用某種規則列出其中所有的實數，都是做不到的。

不過，實數還保留了一點小純真：實數仍然是可比的，任何兩個實數之間，總還可以比較大小。這一點聽着有點好笑吧？下面說到虛數就笑不出來了。

然後，實數集連續。

這是一個非常優美的特點。

如果把有理數近似比喻成沙堆的話，實數就可以近似比喻成水——沙堆再密，總還有縫隙；而水已經連成一片，宏觀世界裡再難想象和觀察其縫隙了（說分子間有縫隙的是對的，求不擡杠）。

另外，實數集與直線數軸一一對應：任何一個實數都在數軸上有一個确定的位置；反過來，數軸上任何一個點都對應着一個實數。

最後，實數集對加減乘除（除數不為0）和乘方（幂）運算都封閉，對開方運算不封閉：它搞不定負數的偶次方根問題。

複數、虛數

複數：complex number。複數集用C表示。

複數是在實數的基礎上增加了虛數的結果。

上面說了，實數對開方運算不封閉：直白說就是，負實數偶次方根開不出來。

開不出來就開不出來呗，反正數軸直線都已經填滿了，你找出這個數來也沒有地方放啊。

不行。

數學家們很執着很嚴謹，一定要繼續研究。

橫着的數軸上沒地方放，就再弄一條豎着的直線來放。

這是怎樣一種精神（病）！

數學家發現，之所以所有的負數開偶次方都開不出來，歸根到底是因為

開不出來。隻要

有了定義，其他的事情都好辦。

好，既然如此，那就這樣：不管

是什麼玩意，也不管它到底在哪裡存在，我們把它設成i，先這麼用着再說。

于是虛數就這麼被定義出來了，i就是虛數的單位。

在這種“先用起來再說”的膽略後面，其實數學家們有點虛。有點心虛。

摘抄幾個曆史上大佬對虛數的評價：

“這是沒有意義的、想象中的、虛無缥缈的數。”——意大利學者卡當。

“這是神靈遁迹的精微而奇異的隐避所，大概是存在和虛妄兩界中的兩栖物。”——德國數學家萊布尼茨。

“它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。”——瑞士大數學家歐拉。

“實數的鬼魂，想象中的數。”——法國數學家笛卡爾。

從這些評價中能看出，曆史上的這些數學家們還是有閑工夫的，沒少研究神鬼之說。

既然發明的人和使用的人大家都這麼虛，所以這類數就叫做虛數。

虛數不再有大小之比（這可能也是讓數學家們覺得虛的原因）。

比如剛剛說的

（下面就用i代替）和實數0之間，其實是無法比大小的，證明過程也并不複雜，這裡不贅述了。

從幾何意義上來說，i對應的點，既不能放在原點左邊，又不能放在原點右邊，還不能和原點重合。

那把它往哪放？！

其實剛才前面已經輕微劇透了：不能左也不能右，就往上面放……放到原點的上面去……

你橫着的數軸不是填滿了嗎，我就再弄條豎的軸來放虛數：

橫着的X軸（實數）和縱着的Y軸（嚴格說是除去原點之外的Y軸，虛數）共同組成了一個平面，叫做複平面。

隻有在x軸上的實數才能比較大小；除此之外，整個複平面上的任何兩數之間，都是不能比較大小的。

我想，這就是大神歐拉對虛數評價的内涵吧。

再寫一遍：

它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼。

虛數的産生導緻了兩個有意思的結果：

第一，雖然虛數本身感覺是“虛”的，但它的引入卻為科學家提供了研究向量（帶方向的量，也稱矢量，比如物理裡的力，功，速度等）的最好工具。

第二，虛數的産生改變了無理數的地位。長期以來無理數作為數集大家庭裡最後來的小弟，一直底氣不足；直到虛數這個更後來的小弟出現，無理數終于被正式納入到實數的範圍裡，媳婦熬成婆，大家一起欺負虛數。

複數是目前常用的數集裡外延最廣的數集。

複數集無限，不可列，連續（展開内容複雜，不在此處讨論），對加減乘除乘方（幂）開方六則運算都封閉（除數不為0）。

尾聲

從自然數擴展到了複數，人類使用的數集終于基本告一段落。

回顧這個演變和擴充曆史，裡面其實記錄着的都是人類對世界的認識不斷深入的過程。這個過程有血有淚有心跳。科學史和科學故事很精彩，有時也很無奈。

有理數，無理數，實數，虛數，還有更多更多的數，他們都在靜靜地等待着人類的研究和認識；而隻要人類社會的鬥争還在，為了科學事業流血犧牲的人就不會絕迹。