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在正方形abcd中e是bd的中點
在正方形abcd中e是bd的中點
更新时间:2025-04-26 14:06:20

:如圖,已知E是正方形ABCD外一點,滿足BE=BD,CE∥BD,BE交CD于F,

求證:DE=DF.

在正方形abcd中e是bd的中點(經典再現19正方形問題)1

分析:欲證DE=DF,設法證明∠DEF=∠DFE.

從已知出發,根據已知條件聯想到其相關的性質。

由四邊形ABCD是正方形,可得該四邊形四邊相等,四個角都是直角,對角線與邊的夾角為45°;

由BE=BD,可得∠BED=∠BDE;

由CE∥BD,可得∠BEC=∠DBE,∠DCE=∠BDC=45°.

經過探索,以上這些條件仍然不足以證明∠DEF=∠DFE.

考慮添加輔助線.注意到正方形對角線互相垂直評分且相等,為了利用這個性質,連接AC,交BD于點O(如圖2).則

AC⊥BD,OC=BD/2.

因為CE∥BD,所以AC⊥CE,

從而有∠DOC=∠OCE=90°.

考慮到這兩個直角,再作EG⊥BD于G(如圖2),

則四邊形OCEG是矩形,

所以EG=OC=BD/2.

注意到直角三角形BGE中,

因為BE=BD,所以EG=BE/2,

所以∠EBG=30°.

這是個偉大的發現,發現了∠EBG為30°,接下來的問題就不成問題了.

在正方形abcd中e是bd的中點(經典再現19正方形問題)2

證明:連接AC,交BD于點O(如圖2).則

AC⊥BD,OC=BD/2.

因為CE∥BD,所以AC⊥CE,

作EG⊥BD于G(如圖2),

則四邊形OCEG是矩形,

所以EG=OC=BD/2.

在直角ΔBGE中,

因為BE=BD,

所以EG=BE/2,

所以∠EBG=30°,

所以∠BDE=∠BED

=(180°-30°)/2=75°,

因為∠BDC=45°,

所以∠EDF=30°,

所以∠DFE=180°-30°-75°=75°,

所以∠DFE=∠DEF,

所以DE=DF.

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