一年級上冊︱比較物體輕重為什麼不直接告訴學生“稱”的方法，而要經曆“看”“掂” “稱”的過程？

本部分内容的教學目的是通過多種多樣的活動體驗，幫助學生建立起對質量的直觀感受。學生比較物體的輕重是需要豐富的直接經驗來做支撐的，單純“稱”隻能告訴學生一個抽象的結果，并不能直觀地讓學生感受到到底誰重誰輕。所以，“說一說”“掂一掂”等活動都是幫助學生建立對物體輕重直觀感覺與判斷物體輕重關系的重要方法。教材中之所以安排這些内容的目的，有幾個方面的思考：一是在活動中讓學生感知物體的質量，建立物體間輕重的經驗。二是通過一系列的活動，讓學生懂得比較物體間輕重的方法是多樣的。三是滲透根據比較物體對象的實際情況，靈活運用不同比較方法。

如在“說一說”的内容中，由于學生已有一些判斷兩個物體輕重的經驗，所以他們可以利用原有的經驗，通過視覺觀察的方法直接判斷兩個物體誰輕誰重。然而，在這一活動中，不但需要充分利用學生原有的經驗進行判斷，還要引導學生用數學的語言進行叙述。如根據跷跷闆的圖示，學生叙述的語言往往是“獅子重”或“老虎輕”，這是不夠規範的判斷語言，這時教師就應指導學生說“獅子的體重比老虎重”或“老虎的體重比獅子輕。”在“掂一掂”的活動中，主要是讓學生知道當兩個或多個物體之間的輕重關系不明顯，難以借助參照物通過觀察進行判斷時，就需要選擇“掂”感知的方法。同時，在學生掂的過程中，還有相當重要的作用，即幫助學生逐步建立物體間輕重的經驗，這對學生今後判斷物體間的輕重将有重要的影響。而在兩個物體輕重關系差距不大，無法依靠觀察和感知區分時，或者我們需要知道物體的精确質量時，“稱一稱”就成為了一個必需的方法。

所以，教材中安排的三組問題情境，各有不同的側重點，學生在這些活動中，既能感受判斷物體輕重的不同方法，又能加深對物體間輕重含義的真正體會。

二年級上冊︱乘法口訣的編排上有什麼特點？

乘法口訣是我國小學生提高基本計算能力的有用的工具，是我國數學教育的傳家寶。本冊教材分兩段安排相關内容 2～5 的乘法口訣和 6～9 的乘法口訣，利于分散學習難點并方便鞏固對口訣的記憶和後續學習。教材分兩段編排的目的，是為了分散内容，加深理解，以降低記憶的難度，先熟記 2～5 的乘法口訣，2～5 的乘法口訣數目比較小，相對好記一些。6～ 9 的乘法口訣雖然數目比較大，但是新學的口訣越來越少，9 的乘法口訣新學的隻有一句“九九八十一”。而舊的口訣又可以得到相應的鞏固。除此之外，教材在乘法口訣的編排上還有以下特點：

教材結構上體現一定的同構性：（1）由情境引入連加，算出得數；（2）借助乘法意義編制口訣；（3）尋找規律，記憶口訣。這種編排便于體會乘法口訣的内在聯系與規律性，便于運用知識的遷移學習新知識，并在理解的基礎上記憶口訣。每一部分口訣都是緊密聯系學生生活情境引入的。例如，學習“2 的乘法口訣”時，創設了做家務擺筷子的情境，通過數筷子的根數編 2 的乘法口訣。學習“3 的乘法口訣”時，創設了淘氣做三輪車的情境引入。這樣安排，便于引導學生自覺投入學習活動，為編口訣做準備。

以 5 的乘法口訣作為起始内容進行安排。因為每隻手都有 5 個手指，這是人人都有的學具。數數時，經常 5 個 5 個地數，與學生生活密切聯系，有助于學生探索規律，經曆編制口訣的過程，掌握口訣編制的方法。

口訣編排設計上注意體現一定的規律性，便于啟發學生找聯系，找規律來記憶口訣。安排形式多樣的練習，有利于保證學生的基本計算技能的形成。例如，在學習 2，3，5 的乘法口訣時，教材設計了問題“想一想，怎樣記住 2（3，5）的乘法口訣”，引導學生找規律。學習 4 的乘法口訣時，設計了問題“你覺得哪句乘法口訣不太好記”，可以利用點子圖說明口訣中的内在聯系，幫助記住不好記的口訣。在學習 6 的乘法口訣時，教材安排了“用下面的方法推算 6×7 的結果，你看懂了嗎？說一說，填一填”，借助點子圖這個直觀模型溝通新舊知識之間的聯系。

再如，7 的乘法口訣設計了“7×8=？淘氣是這樣想的，你能看懂嗎？說一說，填一填”，利用數線圖把學生已經學過的知識轉化成為以前學過的口訣。

另外，教材設計了新穎的富有童趣的練習，如“小動物找新家”，即乘法算式與得數的搭配；“做一個轉盤，轉一轉，算一算”等。這樣安排，把枯燥的計算賦予有趣的情境，使學生在愉悅的氛圍中學習表内乘除法，從而得到基本的運算技能。

三年級上冊︱本冊教材的“觀察物體”與一年級下期的“觀察物體”比較，對于空間觀念的發展提出了什麼新的要求？

“觀察物體”在兩個學段都設計了相應的内容。第一學段是實物觀察，活動任務是觀察與辨認。一年級從不同的角度隻觀察一個物體，作為基本要求同一幅圖不超過 3 個方向；三年級發展到觀察一個物體及觀察兩個物體的簡單關系，觀察的角度增加，作為基本要求同一幅圖不超過 4 個方向。

第二學段分為了兩條線索，一是觀察由幾個小正方體搭成的物體；二是感受觀察的範圍，随着觀察點的變化了解物體之間的相互關系。活動任務除了觀察與辨認，還包括畫出觀察到的形狀的草圖和根據形狀圖還原立體圖形。四年級下冊觀察由幾個小正方體搭成的物體，小正方體的個數在 4 塊（含 4 塊）以内；在小場景下，感覺觀察的範圍，随着觀察點的變化了解物體之間的相互關系。六年級上冊小正方體的數量增加到 5 塊，并且讨論搭成符合條件的立體圖形最少或最多需要多少小正方體；在大場景下，感覺觀察的範圍，随着觀察點的變化了解物體之間的相互關系。

本冊第二單元“觀察物體”是在一年級下冊初步學習從不同位置觀察一個簡單物體的基礎上，拓展到觀察一個物體最多可以看到三個面，從相對位置觀察物體以及從不同位置觀察兩個物體的相互關系，進一步積累觀察物體的直觀經驗。

本單元設計了兩個課時的内容。“看一看（一）”首先呈現三個小朋友站在桌子周圍從不同角度觀察桌面上的一個投票箱的情境。淘氣貼近投票箱的後面，低頭對着投票箱的上面觀察，隻看到了投票箱的上面。投票箱的位置在笑笑和妙想的水平視線下，笑笑站在投票箱的左側觀察，可以看到投票箱的左面和上面，妙想站在投票箱的右前方，可以看到投票箱的上面、前面和右面三個面。通過這樣的觀察活動，引導學生體驗從不同角度觀察長方體，每次最多隻能看到三個面。教材還呈現了四個小朋友觀察玩具小熊的情境，要求學生“先想一想”，進行空間想象推理，不僅能根據直觀圖辨認這四幅圖分别是誰看到的，而且還要像樂樂和不馬虎那樣，說明辨認的方法和理由。“再看一看”是進行實物的模拟觀察，讓學生對各自的想象、推斷進行驗證。

“看一看（二）”則是引導學生經曆從不同角度觀察兩個物體的活動過程，進一步體驗從不同位置看到的物體間的相對位置可能是不同的。

四年級上冊︱“從結繩計數說起”為什麼單獨成一節課？如何将内容學習與數學曆史有機結合在一起？

數學史料記錄了重大的數學理論和思想方法的産生、發展過程，其中蘊含着豐富的數學文化。本套教科書精心選取數學史料，設計了三種呈現方式，使之成為兒童數學學習的一部分。一是在練習中設置“你知道嗎”欄目，通過“讀一讀”“做一做”的方式，了解與本節課相關的數學史實；二是結合正文中的一個問題介紹某個知識的來曆；三是把數學史單獨編排為一節課，讓學生感知重要的數學知識産生的漫長曆程。可見，數學史的呈現已不再局限于簡單的閱讀，而是更加重視與所學知識緊密結合起來。把“從結繩計數說起”單獨編排為一節課，意在讓學生“做”一些數學史，了解數的産生與發展的曆程就是十進位值制計數法的産生與發展的曆程，水到渠成地揭示了自然數概念，完成對數認識的總結性學習。

把“從結繩計數說起”單獨編成一節課，是因為十進位值制計數法是人類最美妙的發明。用十個符号就可以表示所有的自然數，每個數字不但有絕對的值，還有位置的值，為什麼呢？它是怎樣産生的呢？學生并沒有深刻體會到它的簡潔與美妙（因為一開始就這樣做了）。十個符号的發明與進位制和位值制的發生發展過程是一緻的。在前面的學習中，學生對進位制和位值制的價值有一些認識和體會，但沒有從數的發展史的角度去體會（如果沒有的話，計數将是多麼麻煩）。 自然數概念是人類積累數學知識的開端，是一切計算的基礎，這其中蘊含着抽象的數學思想，如果學生能夠知道知識的來龍去脈，則能更好地掌握知識，領悟思想。

教材把3組古人計數的史料圖文并茂地與進一步認識自然數有機結合在一起，分三部分，從計數和符号兩個層面來介紹計數發展的曆程。首先呈現的石子計數、結繩計數和刻痕計數，都是進行逐一計數，體現了一一對應的抽象思想，讓學生了解計數辦法逐漸由具體到抽象的演變過程；然後呈現的古埃及象形數字、瑪雅數字和中國算籌數碼，介紹在符号表示數的發展曆程中蘊含了進位制與位值制思想，讓學生了解符号表示數逐漸從具體到抽象的演變過程；最後直接介紹了現在通用的10個數字符号，叫作“印度-阿拉伯數字”。這樣的編排，讓學生在“讀一讀”“說一說”和“寫一寫”的過程中，了解了人類發明進位制和位值制後，才使符号表示所有的自然數成為可能，進一步體會到十進位值制的重大價值，感受豐富的數學文化，增進熱愛數學的情感。

五年級上冊︱教材為什麼把倍數和因數的研究界定在非零自然數的範圍内呢?

實際上，與其說是給倍數和因數界定适用範圍，不如說倍數和因數是研究這個範圍内的數之間關系的産物。

一個整數的倍數的個數是無窮多的，其中最小的倍數是這個整數的本身。

首先我們要明确的是，五年級我們所學習的“倍數”，和二年級我們所學習過的“倍”，是兩個不同的概念。

例如，4 的倍數有 4，8，12，16，…如何描述這些 4 的倍數之間的區别呢?這就需要引入“倍”的概念，4 是 4 的 1 倍的倍數，8 是 4 的 2 倍的倍數，12 是 4 的 3 倍的倍數等。可見，“倍數”與“倍”是不同的兩個概念。

12÷4=3，其中 12 是 4 的倍數，12 也是 4 的 3 倍。“3 倍”是刻畫 12 和 4 之間的數量關系的，可以畫圖表示 12 是 4 的 3 倍（如圖1）。

圖 1

六年級上冊︱如何帶領學生經曆圓的周長的探索過程？

從數學的曆史發展和學生的認識發展上來說，圓的周長是難點。雖然人們很早就發現輪子越大滾一圈越遠，但是一直沒有找到計算周長的方法。為此數學家一直在探索，最終發現圓的周長與直徑之間的關系。教材設計圓的周長這一内容，正是對這一過程的濃縮，引導學生充分經曆圓周長的探索過程，幫助學生積累數學活動經驗。

活動經驗總是伴随着活動而産生，隻有數學活動才會産生數學活動經驗。積累數學基本活動經驗，要求人們能“從頭到尾”的思考問題：開始的條件是什麼，目标的結果是什麼，過程如何設計，等等1。為此，教材設計了很多活動，意在拉長結論獲得的過程，幫助學生積累相關的數學活動經驗。圓的周長這一内容正是出于這樣的考慮才安排 2 課時教學，第 1課時隻是探索出圓的周長與直徑的關系，而周長的公式與利用公式進行計算安排在第 2 課時，拉長了探索圓的周長與直徑關系的探索過程，讓學生有充足的時間體會人類重要的數學知識發生、發展的脈絡。

“圓的周長”第 1 課時

“圓的周長”第 2 課時

基于經驗，還要激發經驗。教材在第 1 課時提出了“如何測量車輪的周長呢”，鼓勵學生通過操作得到圓的周長，意在根據周長的意義想辦法測量圓的周長，為進一步研究圓的周長提供感性認識。然後提出一個關鍵性問題“圓的周長與什麼有關”，鼓勵學生借助研究直邊圖形周長的經驗猜想圓的周長與什麼有關。在此基礎上，通過操作驗證猜想，積累測量曲邊圖形周長的經驗。然後在讨論了測量時會産生誤差，以及運用統計的方法減少誤差，培養學生實事求是的态度和科學探究的精神。經驗最大的特征是個性化，不同的人有不同的想法，想法不一緻就會産生沖突，就有了交流的必要。嘗試通過協商，聽懂别人的想法，表達自己的想法，來赢得更多人的理解，在這個過程中學生求知的欲望越來越強。