找出數列的排列規律（一）

找規律是我們在生活、學習、工作中經常使用的一種思想方法，在解數學題時人們也常常使用它，下面我們利用找規律的方法來解一些簡單的數列問題。

例1. 在下面數列的（ ）中填上适當的數。

1，2，5，10，17，（ ），（ ），50

分析與解：

這個數列的排列規律是什麼？我們逐項分析：

第一項是：1

第二項是：2，2=1 1=第一項 1

第三項是：5，5=2 3=第二項 3

第四項是：10，10=5 5=第三項 5

……

可以看出，這個數列從第二項起，每一項都等于它的前一項依次分别加上單數1，3，5，7，9……，這樣我們就可以由第五項算出括号内的數了，即：

第一個括号裡應填（17 9=26）26；第2個括号裡應填（26 11=）37。

例2. 自1開始，每隔兩個整數寫出一個整數，這樣得到一個數列：

1，4，7，10……

問：第100個數是多少？

分析與解：

這個題由于數太多，很難像例1那樣遞推，我們可以換一種思路：

數列中每相鄰兩個數的差都是3，我們把這樣的數列叫做等差數列。我們把“3”叫做這個等差數列的公差。

觀察下面的數列是等差數列嗎？如果是，它們的公差是幾？

（1）2，3，4，5，6，7……

（2）5，10，15，20，25，30……

（3）1，2，4，8，16……

（4）12，14，16，18，20……

現在我們結合例2找一找每一項與第一項，公差有什麼關系？

第1項是1，第二項比第一項多3，第三項比第一項多2個3，第四項比第一項多3個3，……依次類推，第100項就比第一項多99個3，所以第100個數是1 (100-1)x3=298

由此我們可以得出這樣的規律：等差數列的任一項都等于：

第一項＋（這項的項數－1）×公差

我們把這個公式叫做等差數列的通項公式。利用通項公式可以求出等差數列的任一項。

試試看：你能求出數列3，5，7，9……中的第92個數是多少嗎？

例3. 已知一列數：2，5，8，11，14，……，44，……，問：44是這列數中的第幾個數？

分析與解：顯然這是一個等差數列，首項（第一項）是2，公差是3。我們觀察數列中每一個數的項數與首項2，公差3之間有什麼關系？

以首項2為标準，第二項比2多1個3，第三項比首項多2個3，第四項比首項多3個3，……，44比首項2多42，多14個3，所以44應排在這個數列中的第15個數。

由此可得，在等差數列中，每一項的項數都等于：

（這一項－首項）÷公差＋1

這個公式叫做等差數列的項數公式，利用它可以求出等差數列中任意一項的項數。

試試看：數列7，11，15，……195，共有多少個數？

例4. 觀察下面的序号和等式，填括号。

分析與解：

表中等式的第1個加數是1，3，5，7，9……，是一個等差數列，公差是2，第二個加數也是一個等差數列，公差是3，第三個加數也是一個等差數列，公差是4，和同樣是一個等差數列，公差是9。由于第三個加數的最後一項是7983，可以根據等差數列的項數公式求出7983是3，7，11，15……這個等差數列的第幾項，也就是序号。(7983-3)÷4 1=1996。這樣我們就可以分别求出各個等差數列的第1996項是多少了，利用通項公式：

綜上所述，括号裡應填的數是：

（1996） （3991）＋（5987）＋7983＝（17961）

例5. 已知數列1，4，3，8，5，12，7，16，……，問：這個數列中第1997個數是多少？第2000個數呢？

分析與解：從整體觀察不容易發現它的排列規律，注意觀察這個數列的單數項和雙數項，它們各自的排列規律為：

單數項：1，3，5，7，……

雙數項：4，8，12，16，……

顯然，它們各自均成等差數列。

為了求出這個數列中第1997個數和第2000個數分别是多少，必須先求出它們各自在等差數列中的項數，其中：

第1997個數在等差數列1，3，5，7，……中是第（（1997 1）÷2=）999個數；

第2000個數在等差數列4，8，12，16，……中是第（2000*2=）1000個數。

所以，第1997個數是1 （999-1）×2=1997。

第2000個數是4 （1000-1）×4=4000

［答題時間：40分鐘］

1. 按規律填數。

（1）1，2，4，（ ），16；

（2）1，4，9，16，（ ），36，49；

（3）0，3，7，12，（ ），25，33；

（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34；

（5）2，7，22，64，193，（ ）。

2. 數列3，6，9，12，15，……，387共有多少個數？其中第50個數是多少？

3. 有數組（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，求第100組的三個數之和。

4. 下面各列數中都有一個“與衆不同”的數，請将它們找出來：

（1）6，12，3，27，21，10，15，30，……；

（2）2，3，5，8，12，16，23，30，……。

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