知識無價，關注點贊

柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857)是法國數學家、力學家。27歲成為巴黎綜合工科學校教授，并當選為法國科學院 院士. 他的一生獲得了多項重要的成果。柯西不等式便是他的一個非常重要的成果。除此之外他在數學的很多領域都進行了深刻的研究，其中包括數論、代數、數學分析和微分方程等，為數學的發展做出的突出的貢獻。柯西對高等數學的貢獻包括：無窮級數的斂散性，實變和複變函數論,微分方程，行列式，概率和數理方程等方面的研究．目前我們所學的極限和連續性的定義，導數的定義，以及微分、定積分用無窮多個無窮小的和的極限定義，實質上都是柯西給出的。數學中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收斂原理、柯西中值定理、柯西積分不等式、柯西判别法、柯西方程等等。

柯西

柯西不等式是由大數學家柯西(Cauchy)在研究數學分析中的“流數”問題時得到的。但從曆史的角度講，該不等式應當稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因為，正是後兩位數學家（布涅柯夫斯基和施瓦茨）彼此獨立地在積分學中推而廣之，才将這一不等式應用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，而且形式優美，結構巧妙，他也是高中四大經典不等式（均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式）之一，做為高中數學選修4－5的重要内容，靈活巧妙地應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解在高考中拿分迅速準确。 柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數最值、解方程等問題的方面有很強大的應用。柯西不等式不僅在高等數學中是一個十分重要的不等式，而且它對初等數學也有很可的指導作用，利用它能高遠矚、居高臨下，從而方便地解決一些中學數學中的有關問題。

一、柯西不等式的各種形式及其證明

一般形式及推論

三個變形

柯西不等式的證明有很多，利用均值不等式、構造函數、數學歸納法等，而二維形式、三角形式、向量形式的證明過程也很簡單，在這裡筆者就不進行證明，歡迎大家評論區讨論，這裡隻給出積分形式（施瓦茨不等式）、推廣形式（卡爾松不等式）證明的幾種形式，以供參考。

二維形式

三角及向量形式

積分形式

推廣形式

二、柯西不等式在高考中的幾種應用

當函數解析式中含有根号時常利用柯西不等式求解

先在柯西不等式的基礎上把不等式構造出來，然後在進行求解。

由于許多式子的結構滿足柯西不等式取等号的條件，因此可以利用不等式來解決等式的一些問題。例如下面的例題是一個三元二次方程組，依常規看，好像少了一個方程，但運用柯西不等式卻可化腐朽為神奇，柳暗花明，讓我們領悟到數學的奇異美。

柯西不等式結構對稱和諧，具有較強的應用性，深受人們的喜愛。它作為一個基本而又重要的不等式，在數學領域中具有一定的地位。它不僅在高等數學中是一個重要的不等式，而且它對于初等數學的學習也有很大的指導意義。靈活巧妙地運用柯西不等式能高瞻遠矚，方便地解決初等和高等數學的有關問題，從而加深知識的理解與鞏固。

能否熟練地應用就要看我們是否有去用它的意識，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會使複雜問題簡化，解題更加方便，快捷，收到事半功倍的效果。如何應用柯西不等式，難點在于構造，既要針對柯西不等式兩端的形式，又要考慮問題所給條件和結論的内在聯系，探索構造信息，有助于開闊眼界，培養思維的深刻性與發散性。其實對于數學上其它的公式、定理使用時也是如此，那就是：變形改造已知式，使定理公式的使用更便于結論的導出；創設、構造條件使看似不能利用相關定理、公式成為可能。