A.重要的思維方法

全等三角形是平面幾何内容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發點，運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題．

利用全等三角形證明問題，關鍵在于從複雜的圖形中找到一對基礎的三角形，這對基礎的三角形從實質上來說，是由三角形全等判定定理中的一對三角形變位而來，也可能是由幾對三角形組成，其間的關系互相傳遞，應熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形：

善于在複雜的圖形中發現、分解、構造基本的全等三角形是解題的關鍵，需要注的是，通常面臨以下情況時，我們才考慮構造全等三角形：

(1)給出的圖形中沒有全等三角形，而證明結論需要全等三角形；

(2)從題設條件無法證明圖形中的三角形全等，證明需要另行構造全等三角形．

全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情況，從全等到相似是認識上的一個巨大飛躍，不但認識形式上有質的變化．而且思維方式也産生突變，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的問題中出現的線段間的關系比全等形中的等量關系複雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式、線段乘積的和、差、線段比的和差等．

兩個相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，對應邊之比稱為它們的相似比，可以想到這兩個相似三角形中其他一些對應元素也與相似比有一定的關系．

1．相似三角形對應高的比、對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比；

2．相似三角形周長之比等于相似比；

3．相似三角形面積之比等于相似比的平方．

以上諸多相似三角形的性質，豐富了與角、面積等相關的知識方法，開闊了研究角、面積等問題的視野．

通過尋找(或構造)相似三角形，用以計算或論證的方法，我們稱為相似三角形法，在線段長度的計算、角相等的證明、比例線段的證明等方面有廣泛的應用，是幾何學中應用最廣泛的方法之一．

熟悉以下形如"A型"、"X型""子母型"等相似三角形．

判定三角形全等的方法有SAS,ASA,AAS,SSS,所以判定兩個三角形全等至少要有一邊相等.判定兩個三角形相似的方法有兩角對應相等的兩個三角形相似;兩邊對應成比例,且夾角相等的兩個三角形相似;三邊對應成比例的兩個三角形相似,關鍵是要找到角相等.抓住"邊定全等,角定相似"這一解題的關鍵,相關的題目就會迎刃而解.

B.典型熱點問題

1.多解填空題

1．（2019•河南模拟）如圖，在矩形ABCD中，點E為AB的中點，點F為射線AD上一動點，△A′EF與△AEF關于EF所在直線對稱，連接AC，分别交EA′、EF于點M、N，AB＝2√3，AD＝2．若△EMN與△AEF相似，則AF的長為_____ ．

【解析】①當EM⊥AC時，△EMN∽△EAF，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，

∴tan∠CAB＝BC/AB=√3/3，∴∠CAB＝30°，∴∠AEM＝60°，

∴∠AEF＝30°，∴AF＝AE•tan30°＝2√3×√3/3＝2，

②當EN⊥AC時，△ENM∽△EAF，可得AF＝AE•tan60°＝6，

故答案為2或6．

2．（2019•霍邱縣一模）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC、BD相交于點O，過點P分别作AC、BD的垂線，分别交AC、BD于點E、F，交AD、BC于點M、N．下列結論：①△APE≌△AME；②PM PN＝AC；③△POF∽△BNF；④當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點，其中一定正确的結論有 _______．（填上所有正确的序号）．

【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°．

在△APE和△AME中，∠BAC＝∠DAC,AE=AE, ∠AEP＝∠AEM,，

∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；∴PE＝EM＝1/2PM，

同理，FP＝FN＝1/2NP．

∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE

∴四邊形PEOF是矩形．∴PF＝OE，∴PE PF＝OA，

又∵PE＝EM＝1/2PM，FP＝FN＝1/2NP，OA＝1/2AC，

∴PM PN＝AC，故②正确；

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF與△BNF不一定相似，故③錯誤；

∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．∴PM＝PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP＝BP，即P是AB的中點．故④正确．

故答案為：①②④．

2.動點探究問題

3.（2018秋•蘇州期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，動點P以2cm/s的速度在△ABC的邊上沿A→B的方向勻速運動，動點Q在△ABC的邊上沿C→A的方向勻速運動，P、Q兩點同時出發，5s後，點P到達終點B，點Q立即停止運動（此時點Q尚未到達點A）．設點P運動的時間為t（s），△APQ的面積為S（cm2），S與t的函數圖象如圖②所示．

（1）圖①中AC＝_____ cm，點Q運動的速度為 ______cm/s；

（2）求函數S的最大值；

（3）當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？請說明理由．

【解析】（1）根據勾股定理得到AC＝8，設點Q運動的速度為v，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論,故答案為：8，1；

（2）過點P作PH⊥AQ于H，則PH∥BC，由題意得，AP＝2t，CQ＝8﹣t，

4．（2018秋•九龍坡區校級期末）已知△ABC中，AB＝AC，過點B作射線BE，過點C作射線CF，使得∠ABE＝∠ACF，且射線BE、CF交于點D，過A點作AM⊥BD于點M

（1）如圖1所示，若∠CAB＝90°，求證：DM CD＝BM；

（2）如圖2所示，求證：DM﹣CD＝BM；

（3）如圖3，在（1）問的條件下，射線BE和線段AC交于點N，且AN＝7，AB＝11，過點A有一直線l，點P從N點出發沿N→A→B路徑向終點運動，終點為B點：點Q從B點出發沿B→A→N路徑向終點運動，終點為N點．點P和Q分别以每秒1個單位和3個單位的運動速度同時開始運動，兩點都要到達相應的終點時才能停止運動，分别過P和Q作PR⊥l于R，QS⊥l于S．設運動時間為t秒，要使以點P，R，A為頂點的三角形與以點Q，S，A為頂點的三角形全等，請直接寫出t的值．

【解析】（1）作AG⊥CF于G，由AAS證明△AGC≌△AMB，得出CG＝BM，AG＝AM，∠GAC＝∠MAB，再證明四邊形AGDM是正方形，得出GD＝DM，即可得出結論；

（2）作AG⊥CF于G，同（1）得：△AGC≌△AMB，得出CG＝BM，AG＝AM，再由HL證明Rt△AGD≌Rt△AMD得出DG＝DM，即可得出結論；

（3）根據題意：AP與AQ是兩個直角三角形的斜邊，

以點P，R，A為頂點的三角形與以點Q，S，A為頂點的三角形全等時，AP＝AQ；

分三種情況：①當點P在AN上，點Q在AB上時，如圖3所示：

AP＝7﹣t，BQ＝3t，則AQ＝11﹣3t，AP＝AQ時，7﹣t＝11﹣3t，解得：t＝2；

②當點P與Q在AC邊上重合時，如圖4所示：AP＝7﹣t，AQ＝3t﹣11，

則7﹣t＝3t﹣11，解得：t＝4.5；

③當點P在AB邊上，點Q到達N時，如圖5所示：

AP＝t﹣7，AQ＝7，則t﹣7＝7，解得：t＝14；

綜上所述，要使以點P，R，A為頂點的三角形與以點Q，S，A為頂點的三角形全等，t的值為2或4.5或14．

【點評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、垂直的定義、角的互餘關系、輔助線作圖以及分類讨論等知識；本題綜合性強，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關鍵，注意分類讨論，避免漏解．

3.層進式推理探究問題

5．（2019•瑤海區一模）如圖，在△ABC中，分别以AB、AC為腰向外側作等腰Rt△ADB與等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，連接DC、EB相交于點O．

（1）求證：BE⊥DC；

（2）若BE＝BC．

①如圖1，G、F分别是DB、EC中點，求GF/BC的值．

②如圖2，連接OA，若OA＝2，求△DOE的面積．

【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．（1）證明△BAE≌△DAC，根據全等三角形的性質證明結論；

（2）①取DE的中點H，連接GH、FH，根據三角形中位線定理得到GH∥BE，GH＝1/2BE，得到GH＝FH，GH⊥FH，根據勾股定理計算，得到GF/BC＝√2/2；

②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，證明△BAE≌△BAC，得到∠BAE＝∠BAC＝135°，證明△ODA∽△OAE，根據相似三角形的性質求出OD•OE，根據三角形的面積公式就是，得到△DOE的面積＝2．

【點悟】 (1)證明全等或相似要注意結合圖形,挖掘圖中隐含的公共邊、公共角、對頂角、同位角、内錯角以及中點、中線、角平分線等等量關系求解.

(2)證明兩邊相等的方法有三角形全等,等腰三角形(等腰三角形的定義或三線合一),線段的垂直平分線的性質,角平分線的性質,特殊四邊形的性質,圓的有關性質,等量代換,比例線段以及計算線段的具體長度等.

(3)證明角相等的方法有運用平行線的性質,三角形全等的性質,相似三角形的性質,等腰三角形的性質,角平分線的性質定理及逆定理,和圓有關的角等.

6．（2019•定遠縣一模）已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，過點E作EF∥BC交直線AB

于點F，連接CF．

（1）如圖1，點D在BC上，AB與DE交于點G，連接BE．

①求證：CF＝ED；

②求證：GE/CF=CD/BC；

（2）如圖2，點D在BC的延長線上，若四邊形CDEF是矩形，AC＝6，BC＝4，求AE的長．

【解析】（1）①求出∠DAC＝∠EAB，根據SAS推出△ACD≌△ABE，根據全等三角形的性質得出CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，根據平行四邊形的性質得出CF＝DE即可；

②根據平行四邊形的性質得出∠FED＝∠BCF，根據相似三角形的判定得出△EFG∽△CBF，根據相似得出比例式GE/CF=CD/BC，即可得出答案；

（2）根據矩形的性質得出∠BCF＝90°，求出BF長，根據勾股定理求出CF長，求出△ABC∽△ADE，根據相似得出比例式，即可求出AE＝12√2．

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，勾股定理，直角三角形的性質等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵，題目比較好，難度偏大．

4.作圖探究問題

7．（2019春•南關區校級月考）畫圖題：

（1）如圖，圖①、圖②、圖③均為4×2的正方形網格，△ABC的頂點均在格點上，按要求在圖②、圖③中各畫一個頂點在格點上的三角形（要求：所畫的兩個三角形都與△ABC相似但都不與△ABC全等，圖②和圖③中新畫的三角形不全等，并寫出所畫圖形與原圖形的相似比）．

（2）在邊長為1的方格紙中，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形．

①如圖④，請你在所給的方格紙中，以O為位似中心，出一個與△ABC位似的格點△A₁B₁C₁，且△A₁B₁C₁與△ABC的位似比為2：1；

②求△A₁B₁C₁的面積．

【解析】（1）如圖所示，△A1B1C1和△A2B2C2即為所求，

△A ₁ B ₁ C ₁與△ABC的相似比為2：1；

△A ₂ B ₂ C ₂與△ABC的相似比為√2：1．

（2）①△A ₁ B ₁ C ₁即為所求．

②△A ₁ B ₁ C ₁的面積為1/2×8×4＝16．

5.類比探究問題

8．（2018秋•莒縣期末）（1）已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經過點A，分别從點B、C向直線l作垂線，垂足分别為D、E．當點B，C位于直線l的同側時（如圖1），易證△ABD≌△CAE．如圖2，若點BC在直線l的異側，其它條件不變，△ABD≌△CAE是否依然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

（2）變式一：如圖3，△ABC中，AB＝AC，直線l經過點A，點D、E分别在直線l上，點B、C位于l的同一側，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，求證：△ABD≌△CAE．

（3）變式二：如圖4，△ABC中，依然有AB＝AC，若點B，C位于l的兩側，如∠BDA ∠BAC＝180°，∠BDA＝∠AEC，求證：BD＝CE DE．

【解析】（1）K型全等模型的基本型，通過在△ACE和△ADB中利用角的互餘關系證明等角，從而證明全等；

（2）一線三角的基本型，通過△AEC和△ADB中内角和180°證明等角，從而證明全等；

（3）一線三角的變式，通過△ADB和△ACE中内角和與外角的關系證明等角，從而證明全等．

【點評】本題考查了一線三等角模型的基本型﹣﹣K型全等和變式模型的應用，主要是通過角與角之間的互餘關系，互補關系，外角關系以及内角和關系來推導等角關系，是對幾何證明基本功的很好檢驗，是一道很好的綜合問題．

在幾何圖形題目中，根據具體條件的不同處理的方法靈活多變，經過長期的解題實戰，我們從複雜圖形中分離出基本數學模型，對分析問題、尋找解題思路有很大的幫助。"一線三等角"是指在一條直線上出現了三個相等的角，這種模型在直角三角形、等腰直角三角形、正方形、矩形、等邊三角形中尤其常見，也是添加輔助線的常見方法之一。

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