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數學裡期望是什麼
數學裡期望是什麼
更新时间:2025-04-04 19:48:21

數學裡期望是什麼?簡單明了地告訴你結論:期望就是均值,接下來我們就來聊聊關于數學裡期望是什麼?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

數學裡期望是什麼(數學期望的含義是什麼)1

數學裡期望是什麼

簡單明了地告訴你結論:期望就是均值

首先需要明确的一點是:隻有随機變量才有期望值。

何謂随機變量?簡單地說,一個變量

,它的取值是随機遇而定的,即我們不能預先知道它取值多少。所以自然地,面對一個如此奇怪充滿未知的東西,我們希望用某些工具來刻畫它,對它的性質有一點點了解,比如用分布函數,比如用期望方差偏度峰度等諸多統計量。

期望定義:

連續型随機變量:

離散型随機變量:

從數學上來說,這兩個奇怪的公式實際上就是求加權平均數。從這個定義告訴我們,期望就是平均數,是随機變量各個取值對取這個值的概率的加權平均。如果我們知道

的分布函數,可以通過這個公式算出來它的期望。

但是現實情況往往不會那麼好,對于一個随機變量

,我們經過很多次觀察,獲得了一組觀察值

,并且我們對于它的分布不了解,不能直接計算出來期望。所以換一個方法“估計”它的期望。它的期望是多少?它的平均值是多少?我們對這個随機變量的“期待”是多少?在統計學上,這都是一個問題。用同樣的思路,那就是取平均了,

,在統計學中,這個樣本均值對随機變量期望是無偏估計,即當n充分大的時候,這個估計會和期望“非常非常接近”。

再提到你的例子,扔一個均勻硬币,正面 1分反面-1分,則數學“預期”是0。

設一個随機變量

表示丢硬币的結果,這是一個離散的随機變量,取1和-1的概率都是0.5。其實我們已經知道

的分布了,可以按照公式直接求期望。

但是為了解釋清楚什麼叫期望,我們還按照上述第二種情況來算。

我們丢了

次硬币,得到了一組觀察值

,這裡面有1有-1,肯定沒有0。

但是随着

增大,根據“非常非常接近”,平均值會趨向于0。所謂預期結果是0,即你獨立重複實驗很多很多次,平均值會非常接近0。如果不趨向0,我們則有把握說這個硬币不是均勻的。

再照應一下開頭:

如果我們知道随機變量的分布,期望就是公式定義的加權平均值。

如果我們不知道分布,隻有随機變量的一些觀察樣本,那麼随機變量的期望和樣本的均值相差應該不大。

— 完 —

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