2022年高考數學一卷第19題-立體幾何題
如圖， 直三棱柱ABC-A’B’C’的體積為4， 三角形A’BC的面積為2√2，
求（1）A到平面A’BC的距離。
求（2）設D是A’C的中點，AA’=AB, 平面A’BC垂直于平面ABB’A’, 求二面角A-BD-C的正弦值。
解：這又是一道比較難的題， 但本題的第一問比較簡單，第二問的解答以後給出。
如圖，做三角形A’BC 底邊BC的高A’F. 連接AF。
直棱柱說明A’A垂直于底面ABC， 因此AA’ ⊥BC , 此外根據所做的高線BC⊥A’F
因此BC垂直平面A’AF, 所以三角形ABF直角三角形，∠AFB=90°
在圖中設AB=a, BC=b, ∠ABC=α,
同時設高A’F=m, 高AF=n, 點A’到平面A’BC 的距離為d.
三角形ABC的面積S=(absinα)/2=nb/2
根據棱柱的體積V=Sh=hnb/2=4, 即 hnb=8
而三角形A‘BC的面積A=bm/2=2√2, 即bm=4√2
V/A=hnb/(bm)=8/(4√2)= √2
即hn/m=√2
由于AE是高，即AE垂直于A’F, 在直角三角形A’AF 中，由于BC垂直于平面A'AF,則BC垂直AE，所以AE垂直平面A'AF ,因此AE就是所求的距離，如圖：
根據面積相等 hn/2=md/2
所以d=hn/m=√2
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