雖然在初中數學新課程标準下，四點共圓不再做要求，但是我們在解題的過程中如果靈活的運用四點共圓的性質，可以使複雜的題目變得簡單易解。況且在高中階段，高中老師會默認你在初中已經學會了這個知識，遇到了不會再進行過多講解，所以無論從哪方面講，我們都應該掌握好四點共圓的性質。

數學接龍

一、圓的内接四邊形的性質：

如果同一平面内的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為"四點共圓"。

1）圓内接四邊形的對角互補：∠BAD ∠DCB=180°，∠ABC ∠ADC=180°；

2）圓内接四邊形的任意一個外角等于它的内對角：∠CBE=∠ADC；

3）圓心角的度數等于所對弧的圓周角的度數的兩倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB；

4）共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等，即同弧所對的圓周角相等；

5）圓内接四邊形對應三角形相似：△ABP∽△DCP（三個内角對應相等）

6）相交弦定理：AP×CP=BP×DP（例5）

四點共圓

而利用圓的内接四邊形解題，又分為兩種情形：一是直接利用圓的内接四邊形的性質解題；二是構造共圓，然後再利用圓的的知識和性質解題。

二、直接利用圓的内接四邊形的性質解題

例1、如圖，四邊形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，則它的一個外角∠DCE等于(　　)

A．69° B．42° C．48° D．38°

答案：選A （圓内接四邊形的任意一個外角等于它的内對角）

例2、(·涼山中考)如圖，已知四邊形ABCD内接于半徑為4的⊙O中，且∠C＝2∠A，則BD＝________．

例3、如圖，在⊙O的内接五邊形ABCDE中，∠CAD＝35°，則∠B＋∠E＝（ ）

解：∵四邊形ABCD與四邊形ACDE是圓的兩個内接四邊形

∴∠B ∠ADC = 180°

∠E ∠ACD = 180°（圓内接四邊形的對角互補）

∠B ∠E ∠ADC ∠ACD = 360°

而在△ACD中，∠ADC ∠CDA ∠ACD = 180°

∴∠ADC ∠ACD = 180°-35°= 145°

∴ ∠B＋∠E＝360°-145°=215°

例4、(2019·台州)如圖，AC是圓内接四邊形ABCD的一條對角線，點D關于AC的對稱點E在邊BC上，連接AE.若∠ABC＝64°，則∠BAE的度數為 ．

解：∵∠ABC＝64°

∴∠ADC＝116° （圓内接四邊形的對角互補）

又點D關于AC的對稱點E在邊BC上

∴∠AEC＝116°

∴∠BAE = ∠AEC -∠ABC = 116°-64°=52°

例5、ABCD為圓的内接四邊形，且其對角線AC與BD相交于點P，請證明相交弦定理：AP×CP=BP×DP

證明：∵共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等

∴AB邊所對的∠BCA = ∠BDA

同理CD邊所對的∠CBD = ∠CAD

∴△BCP ∽△ADP

∴AP×CP=BP×DP

三、構造共圓，然後再利用圓的的知識和性質解題

例6、已知：如圖，O 是半圓的圓心，C、E 是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求證：CD=GF

證明：作 GH⊥AB，連接 EO．

∵EF⊥AB，EG⊥CO，

∴∠EFO=∠EGO=90°，

∴G、O、F、E 四點共圓， （四邊形的對角互補，那麼四點共圓）

所以∠GFH=∠OEG， （共圓的四個點所連成同側共底的兩個三角形的頂角相等）

又∵∠GHF=∠EGO，

∴△GHF∽△OGE，

∵CD⊥AB，GH⊥AB，

∵GH∥CD，

∴EO/GF=GO/GH=CO/CD

又∵CO=EO，

∴CD=GF．

例7、設 P 是平行四邊形 ABCD 内部的一點，且∠PBA=∠PDA．

求證：∠PAB=∠PCB．

證明：作過 P 點平行于 AD 的直線，并選一點 E，使 PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四邊形 AEPD 是平行四邊形，四邊形 PEBC 是平行四邊形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP 共圓（一邊所對兩角相等）．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB

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