美是人類創造性實踐活動的産物，是人類本質力量的感性顯現。通常我們所說的美以自然美、社會美以及在此基礎上的藝術美、科學美的形式存在。數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心。簡言之數學美就是數學中奇妙的有規律的讓人愉悅的美的東西。德國數學家克萊因曾對數學美作過這樣的描述：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學卻能提供以上一切。”于是，推而廣之，我們若能以一種欣賞的眼光去認識，學習，研究定積分，那麼學習定積分的過程将會是令人愉快的。

所謂定積分，其形式為

∫“為拉丁文summa首字母的拉長，讀作：“sum”，即”求和“（積分）之意。萊布尼茨于1675年以“omn.l”表示l的總和（積分（Integrals）），而omn為omnia（意即所有、全部）之縮寫。其後他又改寫為∫，以“∫l”表示所有l的總和（Summa）。。此外，他又于1694年至1695年之間，于∫号後置一逗号，如∫,xxdx。至1698年，約．伯努利把逗号去掉，後更發展為現今之用法。

“d”為英文differential,differentiation的首個字母，即”差”。，1675年萊布尼茲分别引入「dx」及「dy」以表示x和y的微分（differentials）,.始見于他在1684年出版的書中,這符号一直沿用至今.,其中與微分概念及符号d相關的英文單詞有divide,decrease,delta等.另外,符号D又叫微分算子.

德國的萊布尼茨，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，《一種求極大極小和切線的新方法，它也适用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。他以含有現代的微分符号和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是曆史上最偉大的符号學者之一，他所創設的微積分符号，遠遠優于牛頓的符号，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符号就是當時萊布尼茨精心選用的。

之所以稱其為定積分，是因為它積分後得出的值是确定的，是一個數，而不是一個函數。定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐标系上的函數的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b。

直與曲是兩個完全不同的概念,從直觀圖形看,前者平直後者彎曲; 從幾何特性看,前者曲率為零, 後者曲率不恒為零; 從代數表達式看,前者是線性方程,後者是非線性方程,因此二者的差别是明顯的. 但定積分的定義更一般地、深刻地體現了由曲轉化為直,直轉化為曲的辯證思想,它本質上是先微“分” 後積“分”的過程. 在定積分定義的第一步,在分割條件下實現了“以直代曲”,即實際上是在每個小曲邊梯形中把曲邊看成直邊,于是用這些“小直邊梯形”的面積近似地代替小曲邊梯形的面積. 第三步中把分 割無限加細,通過取極限,使小直邊梯形面積的和轉化為原來大的曲邊梯形的面積. 這樣一來,局部的 “直”經過無限累加又反過來轉化為整體的“曲”,最後得到了曲邊梯形的面積。

相對于定積分，還有不定積分。

積分還可以分為兩部分。第一種，是單純的積分，也就是已知導數求原函數，而若F(x)的導數是f(x)，那麼F(x) C（C是常數）的導數也是f(x)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x) C的導數也是f(x)，C是任意的常數，所以f(x)積分的結果有無數個，是不确定的，我們一律用F(x) C代替，這就稱為不定積分。用公式表示是:

定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個函數的原函數。它們看起來沒有任何的聯系，那麼為什麼定積分寫成積分的形式呢？定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的内容是：

如果

那麼

但是這裡x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數的自變量，但定積分中被積函數的自變量取一個定值是沒意義的。雖然這種寫法是可以的，但習慣上常把被積函數的自變量改成别的字母如t，這樣意義就非常清楚了：

牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數的值與下限在原函數的值的差。牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算過程。正這個理論揭示了積分與黎曼積分本質的聯系，可見其在微積分學乃至整個高等數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式（這可是一段非常有趣的數學史啊）也被稱作微積分基本定理。

必須指出，定積分是積分學的基本概念，與不定積分不是并列的，從某種意義上說，學習不定積分是為計算定積分服務的。

微分和積分是互為逆運算，所以，講到積分時提一下微分就顯得很有必要了。

積分學是無限求和，而微分學則是無限細分。微分是對函數的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的變化量取值作足夠小時，函數的值是怎樣改變的。比如，x的變化量△x趨于0時，則記作微元dx。簡單地說，微分，就是函數的局部線性近似，就是一個線性函數，局部看起來很接近原來的函數。也可以簡單地記為，微分=局域線性化。

然而，直至十七世紀中葉，人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的觀念。就在這個時候，牛頓和萊布尼茨将微分及積分兩個貌似不相關的問題，透過「微積分基本定理」或「牛頓－萊布尼茨公式」聯系起來，說明求積分基本上是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石，是微積分發展一個重要的裡程碑。

根據定積分定義來源，我們可以總結出利用定積分的思想求曲邊梯形面積分為四個步驟：

1. 細分（量變 有限累積）

2. 取近似（階段性部分 質變）

3. 求和（新的量變 無限累積）

4. 取極限（新的質變）

我們将此種研究變化問題的方法稱為“微元、定積分”法，它是一種辨證的思想方法，它包含了有限與無限的對立統一，近似與精确的 對立統一它把複雜的變化運動問題進行時間、空間 上的有限次分割，在有限小的範圍内進行近似處 理，然後讓分割無限的進行下去，局部範圍無限變小，那麼近似處理也就越來越精确，從而在理論上 得到精确的結果。而微元、定積分的方法就是把變化中的複雜問題簡單化，利用分割法分許多無 窮小段，把無限個小微元之和求出來，再用定積分求結果．通過這種思想，我們将看似的不可能變成了可能，于是應用這種思想我們就可以解決以下問題:

1. 解決求曲邊圖形的面積問題

2. 求變速直線運動的路程

3. 變力做功

4. 應用定積分求立體的體積

定積分思想也可以簡單地理解為用近似規則的方式來對不規則的事物進行求和。比如求一個圓形的面積，我們可以以圓心為重點，把整個圓劃分成無數個小的三角形(因為兩點之間無限小，所以可以近似認為這個三角形的底邊(弧形)為直線)，那麼圓的面積就變成了無限個(比方說N)小三角形的面積之和，而三角形的高則近似為圓的半徑R，那麼圓形的面積就為, 2πR(周長，所有底邊之和) * R(所有三角形的高) / 2 = πR*R。 同理，橫坐标代表時間，縱坐标代表速度，即使你的速度不規律變化，但是路程(也就是速度曲線與橫坐标覆蓋的面積)，也可以當做高度不同的微小矩形的面積之和。于是應用這種思想我們就會得到好多實用而又有趣的結論，發散了我們的思維。