初三數學圓的基本性質?一、圓的基本概念（名稱、定義和元素），今天小編就來聊一聊關于初三數學圓的基本性質?接下來我們就一起去研究一下吧!

初三數學圓的基本性質

一、圓的基本概念（名稱、定義和元素）

1、實驗：

取一根繩子，把它的一端用圖釘固定在畫闆上，另一端系一支鉛筆，然後拉緊繩子，并使它繞着固定的一端旋轉一周。

2、發現：

繩子長度、繩子的一端固定不變，繩子的另一端在繞着它（固定不變）做圓周運動，即旋轉一周。

3、概念：

①我們把繩子的一端繞着另一端（固定不變）旋轉後所得到的封閉曲線叫做圓，定點O（另一端的端點)叫做圓心（1個）,定長繩子叫做半徑（無數條），用“r"表示。以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀做“圓O”。

②連結圓上任意兩點的線段叫做弦（無數條），經過圓心的弦（最長的直徑）叫做直徑（無數條），直徑是半徑的兩倍。

③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧（無數條），簡稱弧，用符号“◠”表示。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓劃分成兩條弧，每一條都叫做半圓，小于半圓的圓弧叫做劣弧，大于半圓的圓弧叫做優弧。半徑相等的兩個圓能夠完全重合，我們把半徑相等的兩個圓叫做等圓，能夠完全重合的圓弧稱為相等的弧。

④一般地，r為圓的半徑，d為同一平面内任意一點P到圓心的距離，則有以下關系：

（1）d＞r⇔點在圓外

（2）d=r⇔點在圓上

（3）d＜r⇔點在圓内

⑤經過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓的内接三角形。三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點。

⑥不在同一條直線上的三個點确定一個圓。（有且隻有一個圓）

證明如下：（以下圖為例）

分别作AB、AC、BC的中垂線（作兩條也可以），交于O點，用圓規作以O點為圓心，以OA為半徑的圓。

因為AB的中垂線垂直且平分AB，根據勾股定理可得，OA=OB，同理可得，OA=OC,OB=OC，所以，OA=OB=OC，滿足圓的定義和性質，即A、B、C三點共圓，不在同一條直線上的三個點确定一個圓。

⊙O為△ABC的外接圓

二、圖形的旋轉

1、一般地，一個圖形繞着自身的一個固定的點，按照一定的方向和角度旋轉形成另一個一樣的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉，這個固定的點叫做旋轉中心。

2、性質：

①圖形經過旋轉所得到的圖形與原圖形全等。

②對應點到旋轉中心的距離相等，任何一對對應點與旋轉中心連線所成的角度等于旋轉的角度。

③當圖形旋轉的角度為180°時，所得的圖形和原圖形關于旋轉中心成中心對稱。

④當圖形旋轉的角度為360°時，所得的圖形和原圖形重合。

三、垂徑定理

1、性質：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

證明如下：（如圖）

因為AB⊥CD，OA=OB，所以AE=BE（勾股定理），CD平分AB，所以AC=BC（三角形中垂線逆定理），AC、BC所對的弧長也相等。即：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。（其中:圓心O點到弦AB的距離OE叫做弦心距，C點叫做弧AB的中點，D點叫做弧ADB的中點）

2、定理：

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

證明：（如上圖）

因為CD平分AB，OA=OB，所以，△AOE≌△BOE，AB⊥CD，所以AC=BC（三角形中垂線逆定理），AC、BC所對的弧長也相等。即：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

②平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦。

（證明：先證明△ACO≌△BCO，根據角平分線的性質可以得到，CD且垂直平分AB即：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦。）

四、圓心角

1、頂點在圓心的角叫做圓心角。（0°＜圓心角＜360°）

例如上圖中：∠AOB就是圓心角等等。

2、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。（所對的弦心距也相等）（證明：可以利用旋轉或者三角形全等的方法）

3、我們知道，圓周角為360°，如果用360條射線把圓等分，每相鄰兩條射線所成的圓心角為1°，于是，我們把1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧，……，n°的圓心角所對的弧就是n°的弧。（n＞0）

4、在等圓或同圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那麼它們所對應的其餘各對量都相等。

（證明：隻要證明兩個圓心角所在的三角形或者兩個弦心距所在的三角形全等，即可推出其餘結論）

五、圓周角

1、頂點在圓上，它是兩邊和圓相交的公共點，像這樣的角叫做圓周角。（0°＜圓周角＜180°）

例如上圖中：∠ACB就是圓周角等等。

2、圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。

證明：（三種情況如下圖）

①∠AOC=2∠ABC（圓心在圓周角的一邊上時）

因為在⊙O中，OB=OC，所以∠ABC=∠OCB

又因為∠AOC=∠ABC ∠OCB，

所以∠AOC=2∠ABC。

②∠AOC=2∠AEC（圓心在圓周角内部時）

連接EO，延長交⊙O于F。

根據①的結論可以得到，∠AOF=2∠AEF，∠COF=2∠CEF。

所以，∠AOC=∠AOF ∠COF=2（∠AEF ∠CEF）。

所以，∠AOC=2∠AEC。

③∠AOC=2∠ADC（圓心在圓周角外部時）

連接DO延長交圓于G。

根據①的結論可以得到，∠COG=2∠CDG，∠AOG=2∠ADG。

所以∠ADC=∠ADG-∠CDG=1/2（∠AOG-∠COG），

所以∠AOC=2∠ADC。

3、圓周角定理推論：

①半圓（或直徑）所對的圓周角是直角。（半圓/直徑的圓心角是平角為180°）

②90°的圓周角所對的弦是直徑。（圓心角為180°是平角）

③在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。（圓心角定理的推論 圓周角的定理）

六、圓内接四邊形

1、如果一個四邊形的各個頂點在同一個圓上，那麼，這個四邊形叫做圓的内接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。

2、性質定理：圓内接四邊形的對角互補。

證明：（如圖）

圓内接四邊形ABDC

因為∠A=∠BOC/2，∠D=1/2（360°-∠BOC）=180°-∠BOC/2（圓周角定理）

所以，∠A ∠D=∠BOC/2 180°-∠BOC/2=180°，同理可得，∠B ∠C=180°。

所以，圓内接四邊形的對角互補。

七、正多邊形

1、我們把各邊相等、各内角也相等的多邊形叫做正多邊形，經過一個正多邊形的各個頂點的圓叫做這個正多邊形的外接圓，這個正多邊形叫做圓内接正多邊形。（任何正多邊形都有一個外接圓）

例如：等邊三角形、正方形等等。

八、弧長及扇形面積

1、弧長：

設半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長為l（R、n、l＞0）。

因為圓的周長為2兀R,1°的圓心角所對的弧長為1∙2兀R/360，

所以，，n°的圓心角所對的弧長為l=n∙2兀R/360=n∙兀R/180。

弧長公式：l=n∙兀R/180。

2、扇形面積：

設半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的扇形面積為S（R、n、l、S＞0）

因為圓的面積為兀R^2，1°的圓心角所對的扇形面積為1∙兀R^2/360，

所以，n°的圓心角所對的扇形面積為S=n∙兀R^2/360，

又因為弧長公式：l=n∙兀R/180，所以S=lR/2，

扇形面積：S=n∙兀R^2/360=lR/2。

利用圓可以解決生活、生産中的很多問題