本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

正弦定理的源起與應用

作者 : 沈樂童

作品編号：052

1. 試題再現

(2019全國Ⅰ理17)的内角A，B，C的對邊分别為a，b，c，設

（1）求A；

（2）若，求．

解（1）由已知得

由餘弦定理得

因為，所以

（2）由（1）知，由題設及正弦定理得

即

由于，所以，故

2. 史料呈現

正弦定理是三角學中最重要的定理之一，它是直角三角形中邊角關系的推廣，也是三角形中“大角對大邊”這一定性性質的定量刻畫。那麼首先，我們來思考一下何為“正弦 (Sine)”。

三角學起源于天文學，最早，古希臘天文學家希帕恰斯（Hipparchus，約公 元前 190-120）為了解決天文學中的計算問題，将每一個三角形都當作是圓的内 接三角形，這樣三角形的邊均變成圓的弦，對角也随之變成弦所對的圓周角（見圖1）。

而後托勒密（C. Ptolemy）繼承了希帕恰斯的工作，他利用圓半徑及弦所對圓周角計算弦長以編制弦表，由圖2不難發現，托勒密的“秘密武器”即為這一關系式。幾百年後，印度數學家将上式改寫成，而阿裡亞哈塔（Aryabhata，約 475-550）首次用半弦定義了正弦，這正是正弦“Sine”的詞源。

由此可見，所謂的正弦本來就源自圓的弦，而希帕恰斯将三角形看成是圓的 内接三角形的方法深刻地影響了後世數學家對正弦定理乃至整個三角學的研究， 這也就不難理解為什麼數學家們會用作外接圓的方法來證明正弦定理。并且，16 世紀以前，正弦（及一切三角函數）均為“線段定義”而非今天所用的“比值定義”。

這是歐洲的普遍說法，那我們再來看看中國古代對于正弦的定義。

圖3

正弦是股與弦的比例勾股定理。古代說的“勾三股四弦五”中的“弦”,就是直角三角形中的斜邊。股就是人的大腿,長長的,古人稱直角三角型中長的那個直角邊為“股”。正放的直角三角形,應是大腿站直.正弦是股與弦的比例,餘弦是餘下的那條直角邊與弦的比例。正弦等于股長除弦長。

3. 思考與感悟

數學學習的主要目的是：“在掌握知識的同時，領悟由其内容反映出來的數學思想方法，要在思維能力、情感态度與價值觀等多方面得到進步和發展。”數學學習的有效方式是“主動、探究、合作。”現代教育應是開放性教育，師生互動的教育，探索發現的教育，充滿活力的教育，以體現數學精神。

但對于學生來說，面對枯燥的數學公式，我們通常處于無感的狀态。但通過介紹我們可以知道，正弦定理早在古代就已然存在了，那麼這就會引起學生們對于正弦定理的好奇——“正弦定理是怎麼來的”、“古代的正弦定理和現代的有什麼區别”、“為什麼要學習正弦定理”……這些諸如此類的問題便會用現在學生的腦海裡。

所以數學這門深奧的，有用的，甚至可以說是奇妙的學科，很值得我們開發大腦去探索。但說數學有用又不僅僅局限于此，作為人類一切科學的源科學，數學與哲學一樣能教給人們許多生活的哲理，以及不同的邏輯思維方式。一個好的數學家必定也是一個不凡的哲學家。可以說：數學很大程度上教給人們的不是如何解決問題的方法，而是一種追求真知的信念。所以說，數學很有用，有用的數學才是數學。徐光啟譯《幾何原本》時說：凡同此書者，無事不能通。數學是一門人生學科，需要一生學習。

所以熱愛數學吧，它使我們的生活變得更加豐富多彩。

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