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用配方法求最值
用配方法求最值
更新时间:2025-04-02 16:19:13

我們通常把y=ax² bx c(a≠0)叫做變量x的二次函數。這個函數在直角坐标系上的圖像是一條抛物線。

利用配方法,可以對函數y作以下變形:

用配方法求最值(怎樣用配方法求極值)1

用配方法求最值(怎樣用配方法求極值)2

凡是可以用二次函數來表示的實際問題,都可以運用上面的結論。

我們來看幾道例題。

例1 用長度為m米的籬笆材料圍成一個矩形場地,要使這塊地的面積最大,應該如何确定邊長?

用配方法求最值(怎樣用配方法求極值)3

這是一個二次函數。由于a=—1<0,所以y有最大值。運用上面的結論分析,可得

用配方法求最值(怎樣用配方法求極值)4

由此可知:

當矩形周長為定值時,以正方形的面積為最大。

例2 兩數之和為16,問此兩數取何值時,平方和最小?

解:設一個數為x,依題意另外一個數為16—x,設兩數的平方和為y,可得

y=x² (16—x)²

去括号并整理,得

y=2x²—32x 256

用配方法求解,可得

y=2(x²—16x 128)

=2(x²—16x 64—64 128)

=2[(x²—16x 8²) 64]

=2[(x—8)² 64]

=2(x—8)² 128

顯然,當(x—8)²=0時,y有最小值128,

∴x=8

當兩數都是8時,平方和y有最小值128。

例3 一條直線上有相距100公裡的A、B兩點。甲車以每小時40公裡的速度從A向B行駛,與此同時,乙車以每小時60公裡的速度由B向C直線行駛(設∠ABC=120°)。問:經過多少時間後,甲與乙相距最短?

解:設經過x小時後,甲到達D,乙到達C,如下圖所示,

用配方法求最值(怎樣用配方法求極值)5

∵∠ABC=120°,由餘弦定理得

CD²=BD² BC²—2BD·BC·cos120°

=(100—40x)² (60x)² 2(100—40x)60x·0.5

=2800x²—2000x 10000

=400(7x²—5x 25)

圖上的CD就是經過x小時後甲與乙的距離,而這個距離的平方是x的二次函數。顯然,CD²與CD、7x²—5x 25同時取得極值。

由y=7x²—5x 25知a=7>0,因而

用配方法求最值(怎樣用配方法求極值)6

以上,介紹了配方法的重要應用:求二次函數的極值。求極值還有其它方法,例如判别式法,抛物線頂點法等,就不講了,以免喧賓奪主,沖淡主題。

科學尚未普及,媒體還需努力。感謝閱讀,再見。

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