用配方法求最值-tft每日頭條

我們通常把y=ax² bx c(a≠0)叫做變量x的二次函數。這個函數在直角坐标系上的圖像是一條抛物線。

利用配方法，可以對函數y作以下變形：

用配方法求最值（怎樣用配方法求極值）1

用配方法求最值（怎樣用配方法求極值）2

凡是可以用二次函數來表示的實際問題，都可以運用上面的結論。

我們來看幾道例題。

例1 用長度為m米的籬笆材料圍成一個矩形場地，要使這塊地的面積最大，應該如何确定邊長？

用配方法求最值（怎樣用配方法求極值）3

這是一個二次函數。由于a=—1<0，所以y有最大值。運用上面的結論分析，可得

用配方法求最值（怎樣用配方法求極值）4

由此可知：

當矩形周長為定值時，以正方形的面積為最大。

例2 兩數之和為16，問此兩數取何值時，平方和最小？

解：設一個數為x，依題意另外一個數為16—x，設兩數的平方和為y，可得

y=x² (16—x)²

去括号并整理，得

y=2x²—32x 256

用配方法求解，可得

y=2(x²—16x 128)

=2(x²—16x 64—64 128)

=2［(x²—16x 8²) 64］

=2［(x—8)² 64］

=2(x—8)² 128

顯然，當(x—8)²=0時，y有最小值128，

∴x=8

當兩數都是8時，平方和y有最小值128。

例3 一條直線上有相距100公裡的A、B兩點。甲車以每小時40公裡的速度從A向B行駛，與此同時，乙車以每小時60公裡的速度由B向C直線行駛（設∠ABC=120°）。問：經過多少時間後，甲與乙相距最短？

解：設經過x小時後，甲到達D，乙到達C，如下圖所示，

用配方法求最值（怎樣用配方法求極值）5

∵∠ABC=120°，由餘弦定理得

CD²=BD² BC²—2BD·BC·cos120°

=(100—40x)² (60x)² 2(100—40x)60x·0.5

=2800x²—2000x 10000

=400(7x²—5x 25)

圖上的CD就是經過x小時後甲與乙的距離，而這個距離的平方是x的二次函數。顯然，CD²與CD、7x²—5x 25同時取得極值。

由y=7x²—5x 25知a=7>0，因而

用配方法求最值（怎樣用配方法求極值）6

以上，介紹了配方法的重要應用：求二次函數的極值。求極值還有其它方法，例如判别式法，抛物線頂點法等，就不講了，以免喧賓奪主，沖淡主題。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。