三角尺的秘密

　　2019年1月15日星期二

　　你文具盒裡的三角尺是什麼樣子的？

常用作圖文具

　　三角尺為什麼是這個樣子的？

　　當然，三角尺的幾何形狀自然是“三角形”。這個問題并不是在糾結三角尺的外形為什麼不是四邊形、圓形或其他，為什麼上面會印制有不同的廣告和圖案，而是在較真為什麼是這樣的一對三角形。全世界的三角尺無論大小、材料、使用對象和場景，似乎都具有形狀上的相似性，好比不同比例尺的地圖，不同大小的國旗、國徽。外形背後的具體秘密是什麼，抑或制造的标準或約定是什麼，才是本文要探讨的。

　　本文的閱讀受衆定位于小學生，自然也以“三角尺文具”為主要讨論對象。高級受衆應當謹防不慎閱讀後産生的智商“被低估”或“被侮辱”的不适感覺。

　　随着數學學習的逐步深入，小學生使用的測量、作圖文具越來越多。由直尺、三角尺、量角器再到圓規，逐漸盛滿了文具盒。了解并熟練地使用這些文具，是重要的數學技能。

　　小學生最先使用的作圖文具應該是直尺。一方面是畫直線的需要，另一方面是學習長度單位“厘米”、測量線段長度的需要。直尺把抽象的單位“厘米”具體化、形象化了。按理說，真正的使用直尺應該在小學二年級。一年級對于計量單位的學習主要是時間單位“整時”的認識和貨币單位“元、角、分”，這二者具有廣泛而深厚的生活基礎，較早地進入了學齡前兒童的生活經驗中。然而，一年級學生也可能使用直尺，因為進入小學要背小書包，小書包裡要有文具盒，文具盒裡爸爸媽媽有時也會稍帶着準備一把直尺。他們時常會拿着當“兵器”玩，偶爾也會發現，有了直尺後，可以用鉛筆畫出筆直的線，比較漂亮的線。當然，這種用法隻能算是玩具和美術的運用，而不是數學的運用。

人教二數上冊3頁

　　接下來應該是三角尺。除了繼續發揮直尺的作用，三角尺最初被用來認識“直角”、畫直角、比較角。

人教二數上冊39頁：認識直角

人教二數上冊40頁1：認識直角

人教二數上冊40頁2：畫直角

人教二數上冊41頁：比較角

　　然後是量角器。三角尺雖然被用來“認識直角、鈍角、銳角”，但也隻是直觀認識。對角的深入認識和測量角，需要借助量角器。量角器對于小學生而言，算是一個複雜的文具了，直到小學四年級才開始認識和使用。這時，測量對象由線段變為角，文具外形由直變曲，刻度複雜，内外圈颠倒排列，一個中心點，一條起始線，一條終止線，操作要點也多了。再加上抽象的角度單位無關乎長短，隻關乎張口之大小，許多孩子必是要好好領悟、練習一陣子，犯過多種花樣錯誤後，才能慢慢熟練。這個測量工具對于大多數孩子來說，絕對不是“自來熟”。

人教四數上冊40頁

　　小學階段最後一個作圖文具是圓規。圓規自然是用來畫圓的。小學六年級學習“圓”，必然要使用圓規。圓規的操作算是“極易上手”的，或許是孩子們大了點，動手能力強了，作圖經驗豐富了，但本質上還是有曆史淵源的。據說，人類最早能畫出的漂亮圖形是直線和圓。

人教六數上冊58頁

拉直繩子

墨鬥彈線

樹杈

手指畫圓

繩子畫圓1

繩子畫圓2

圓規

　　圓規比樹杈“高級”的地方在于，它的兩腳之間的叉口是可以固定和縮放的，能夠畫出大小不一的多種圓，作為文具便于收納和使用。不過，想必遠古的人們對于樹杈還是情有獨鐘、充滿激動的。他們不光可以用樹杈做彈弓，閑暇時也可以将樹杈在地上旋轉一圈，畫出一個漂亮的“圓”來，就仿佛天上圓圓的月亮或濺落水面漾出的漣漪。然後死盯着地面上勻稱、美麗的圖案，指手畫腳、七嘴八舌，彼此沉浸在充滿驚奇、成就感的幸福之中。

山間圓月

漣漪

　　或許，現在的孩子們見多識廣，對于文具已經鮮有“原始的激動”，總是有點習以為常的淡漠和自以為是的高傲，總是覺得不過如此，沒有必要折騰。然而，本文立意恰好相反。

　　了解三角尺的秘密，我們主要站在人教版《數學》四年級上冊“角的度量”一章的學習階段。本章就學習内容而言，毫無疑問直接相關的是量角器的認識和使用。本文所以避開量角器而談三角尺，是因為三角尺在“角的度量”一章将有更深入的認識和更靈活的應用，而這些往往被忽略。用量角器可以靈活地畫出任意大小的角，但特殊的角的作圖，也可以便捷地交給三角尺完成，尤其當您的文具盒裡偶爾沒有量角器時，您隻能動動腦看能不能依靠三角尺解決。這種“特殊的角”和三角尺的規格直接相關。這種規格可以從三個方面表達：

　　①角度：

　　我們姑且将左右兩個三角尺稱呼為：長三角尺、短三角尺。

　　可見，長三角尺的三個角的度數分别是：90度、60度、30度；短三角尺的三個角的度數分别是：90度、45度、45度。這些角度，您也可以利用量角器驗證一番。

　　兩個三角尺一共有4種特殊的角度：30度、45度、60度、90度。這也算是“集合”去重計算中一個小小的應用：3＋２－１＝4（種），因為“長三角尺的角度集合”有3個元素，“短三角尺的角度集合”有2個元素，二者相互交叉、重複的部分隻有90角。

　　②來源：

　　長三角尺來源于最漂亮的三角形：等邊三角形（也叫正三角形）；短三角尺來源于最漂亮的四邊形：正方形。長三角尺是正三角形的一半，短三角尺是正方形的一半。或許，大家也應該記住這個結論的“逆命題”：

　　兩個長三角尺可以拼成一個正三角形；

　　兩個短三角尺可以拼成一個正方形。

　　③關聯：

正三角形和正方形的關聯

　　正三角形的高等于正方形的對角線。

三角尺的關聯

　　長三角尺的長直角邊等于短三角尺的斜邊。

　　這些特點便是所有三角尺“相似”的原因。

　　（重要程度★★★★★）

　　三角尺既可以單獨使用，也可以組合起來使用。

　　文具的組合使用常常帶來神奇的妙用。比如三角尺的組合或者三角尺和直尺的組合，在四年級上冊接下來的學習中就可以便捷地完成“過直線外一點作已知直線的平行線”的作圖。再比如，占據初中幾何大量學習時間的“尺規作圖”，講究的是“無刻度直尺”和“圓規”的組合使用。這種“尺規作圖”甚至在數學曆史上産生過許多經典的“作圖難題”，比如：三等分角、立方倍積、化圓為方、正七邊形作圖……“數學王子”高斯在19歲時發現了正十七邊形尺規作圖的可行性後，視為生平得意之作，甚至交待後人要把正十七邊形刻在他的墓碑上。

約翰·卡爾·弗裡德裡希·高斯（1777年4月30日－1855年2月23日）

正十七邊形

　　然而，這些“後來的學習内容”本文不作更多讨論。我們将專心緻志地把關注點放在三角尺的組合使用上，看一看在“畫給定度數的角”的作圖上，三角尺能夠搶占多少量角器的空間。

量角器畫角

　　單獨使用三角尺，可以畫出4種特定角度的角：30度、45度、60度、90度。

　　組合起來使用（包括加法組合與減法組合），可以更多。依次是：15度、75度、105度、120度、135度、150度、165度、180度，共8種。

　　合并兩種情況共有12種特定度數的角。這些角的讨論範圍是：不超過180度也即平角。因為對于一個大于180度的“優角”作圖，總是可以通過“周角－優角＝劣角”轉換為“劣角”（小于平角的角，銳角、直角、鈍角都是劣角）的作圖的，隻不過我們會将“角的張口小弧線”畫在反面。

　　下圖是三角尺加法組合畫角示意圖。

三角尺加法組合示意

　　從算式分析，一共有6種組合情況：

錯誤的組合圖

二分圖

　　①30＋45＝75（度）

　　②30＋90＝120（度）

　　③60＋45＝105（度）

　　④60＋90＝150（度）

　　⑤90＋45＝135（度）

　　⑥90＋90＝180（度）

　　随着學習的深入，您會發現：所有的三角形，項多有一個直角；平角的作圖，隻需使用直尺就可以辦到。

　　減法組合同上：

　　①45－30＝15（度）

　　②90－30＝60（度）

　　③60－45＝15（度）

　　④90－60＝30（度）

　　⑤90－45＝45（度）

　　⑥90－90＝0（度）

　　但是組合來組合去，隻得到一個有價值的結果：15度。

15度組合

　　這是三角尺組合所能作出的最小度數。至此，所有15度的倍數都能勝任了：

　　15×1＝15（度）

　　15×2＝30（度）

　　15×3＝45（度）

　　15×4＝60（度）

　　15×5＝75（度）

　　15×6＝90（度）

　　15×7＝105（度）

　　15×8＝120（度）

　　15×9＝135（度）

　　15×10＝150（度）

　　15×11＝165（度）

　　15×12＝180（度）

　　至于其中用三角尺畫165度角的具體組合方法，就交給聰明的您去想一想了……

　　再會。