從近幾年的各地中考試卷來看，求面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數相結合．使解題具有一定難度.解決這類問題常規思路需要觀察分析幾何圖形的特征，依據相關圖形的性質，找出幾何量之間的關系，進而建立函數關系模型，利用函數的相關性質來讨論解決問題. 但下文通過探究這類問題一結論，借助結論求解二次函數背景下的面積最值問題更是簡潔明快，别具一格.

【預備知識】

三角形面積計算的常用策略

如圖1，如果三角形的某一條邊與坐标軸平行，計算這樣"規則"的三角形的面積，直接用面積公式

如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐标軸平行的，計算這樣"不規則"的三角形的面積，用"割"或"補"的方法

如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等

如圖5，同底三角形的面積比等于高的比

如圖6，同高三角形的面積比等于底的比

【典型問題】

1.（2019•揭西縣模拟）如圖，一次函數y＝kx b的圖象與y軸交于A點，與x軸交于B點，二次函數y＝﹣x² 2x 8的圖象經過A、B兩點．

（1）求一次函數的解析式；

（2）根據圖象直接寫出當x取何值時，kx b＞﹣x² 2x 8；

（3）點P是抛物線在第一象限上的一個動點，是否存在點P，使△ABP面積最大，若存在，求出此時點P坐标以及△ABP面積，若不存在，請說明理由．

【解析】（1）先求出二次函數y＝﹣x² 2x 8與y軸、x軸交點A、B的坐标，再用待定系數法求出y＝﹣2x 8；

（2）根據圖象可得當x＜0或x＞4時，kx b＞﹣x² 2x 8；

（3）過點P作y軸的平行線PQ交AB于點Q，先利用圖象上點的特征表示出P、Q兩點的坐标，再求出PQ的長，進而表示出△ABP的面積，利用頂點坐标求最值．

∵﹣2＜0，∴當m＝2時，即P點坐标為（2，8）時，S△ABP取得最大值，最大值為8．

【總結反思】

我們發現在解決幾何中相關面積最值問題，主要是樹立數形結合的思想，由計算圖形面積公式來尋找兩邊長之間的變量關系，利用幾何圖形的性質分别用含 x 的代數式表示出長和寬，求出 y 關于 x 的函數，讨論解答。

在這裡P是在第一象限上的一個動點這個條件，有兩個方面的作用：①限制了動點P的活動範圍，進而使得△PAB有最大值；②使得動點P的橫坐标0＜m＜4,進而約束了面積函數關系式自變量取值範圍，這一點極為忽視，在确定要研究問題函數關系式時，一定要考慮自變量的取值範圍。

【規律探究】

1. S△ABP為什麼會有最大值？

【規律應用】

2.（2019•黔南州一模）如圖，抛物線y＝ax² bx c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）求出該抛物線的函數關系式及對稱軸

（2）點P是抛物線上的一個動點，設點P的橫坐标為t （0＜t＜3）．當△PCB的面積的最大值時，求點P的坐标

（3）在（1）的條件下，點P在抛物線上，點Q在抛物線的對稱軸上，若以BC為邊，以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求P點的坐标．

【解析】（1）設抛物線解析式為y＝a（x 1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入求出a即可求得抛物線解析式為y＝（x 1）（x﹣3）＝x²﹣2x﹣3，

對稱軸為直線x＝1；

（2）易求C(0,-3),B(3,0)結合上述探究出的規律，先确定出△PCB的面積的最大值時點P的坐标的橫坐标為C,B兩點橫坐标的中點橫坐标，易求 (0 3)/2=3/2,代人抛物線解析式易求得P的縱坐标為-15/4, 所以P（3/2,-15/4）

（3）設Q（1，n）），分兩種情況讨論①當PQ、PC為平行四邊形的對角線時，②當CQ、BP為平行四邊形的對角線時．綜上所述，可求得以BC為邊，以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，可求得P點的坐标（4，5），（﹣2，5）．

3. （2019•岐山縣二模）如圖，已知直線y＝﹣2x 4分别交x軸、y軸于點A、B．抛物線過A、B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交抛物線于點D．

（1）如圖1，設抛物線頂點為M，且M的坐标是（1/2，9/2），對稱軸交AB于點N．

①求抛物線的解析式；

②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）是否存在這樣的點D，使得四邊形BOAD的面積最大？若存在，求出此時點D的坐标；若不存在，請說明理由．

【解析】（1）①由一次函數圖象上點的坐标特征求得點B的坐标，設抛物線解析式為y＝a（x﹣1/2）2 9/2，把點B的坐标代入求得a的值即，可求該抛物線的解析式為：y＝﹣2x² 2x 4；

②不存在點P，使四邊形MNPD為菱形．設點P的坐标是（m，﹣2m 4），則D（m，﹣2m² 2m 4），根據題意知PD∥MN，所以當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，根據該等量關系列出方程﹣2m² 4m＝3/2，通過解方程求得m的值，易得點N、P的坐标，然後推知PN＝MN是否成立即可；

（2）常規思路：設點D的坐标是（n，﹣2n² 2n 4），P（n，﹣2n 4）．根據S四邊形BOAD＝S△BOA S△ABD＝4 S△ABD，則當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．根據三角形的面積公式得到函數S△ABD＝﹣2（n﹣1）2 2．由二次函數的性質求得最值．當n＝1時，S△ABD取得最大值2，S四邊形BOAD有最大值．此時點D的坐标是（1，4）．

沒有比較就沒有傷害，探究這一規律最起碼可以結論功效。利用上述探究出規律，很快進入解題狀态，當S△ABD取最大值時，S四邊形BOAD最大．由抛物線的解析式為：y＝﹣2x² 2x 4易求A(2,0),B(0,4)，易求出D點橫坐标為（2 0）/2=1，代入y＝﹣2x2 2x 4易求出D點縱坐标為4，即可得D(1,4).

4.（2019•海口模拟）如圖，對稱軸為直線x＝1的抛物線經過A（﹣1，0）、C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為B，點D在y軸上，且OB＝3OD

（1）求該抛物線的表達式；

（2）設該抛物線上的一個動點P的橫坐标為t

①當0＜t＜3時，求四邊形CDBP的面積S與t的函數關系式，并求出S的最大值；

②點Q在直線BC上，若以CD為邊，點C、D、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點P的坐标．

總之，對于二次函數背景下一類面積最值問題，常規思路：過點P做輔助線，然後利用相關性質，找出各元素之間的關系。設動點P的坐标，然後找出各線段的代數式，再通過面積計算公式，得出二次函數頂點式，求出三角形面積的最大值。而利用探究出規律求解，很容易求解動點坐标所處什麼位置時，圖形面積取得最值，從而快速确定結果。如此深入探究一類問題解法本質屬性，可使我們擺脫題海戰術，提高解題能力，更能加快解題速度，提高解題效率，也有利于培養我們的鑽研能力和創新精神.