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二次函數面積最值問題經典習題
二次函數面積最值問題經典習題
更新时间:2025-07-09 20:39:02

從近幾年的各地中考試卷來看,求面積的最值問題在壓軸題中比較常見,而且通常與二次函數相結合.使解題具有一定難度.解決這類問題常規思路需要觀察分析幾何圖形的特征,依據相關圖形的性質,找出幾何量之間的關系,進而建立函數關系模型,利用函數的相關性質來讨論解決問題. 但下文通過探究這類問題一結論,借助結論求解二次函數背景下的面積最值問題更是簡潔明快,别具一格.

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)1

【預備知識】

三角形面積計算的常用策略

如圖1,如果三角形的某一條邊與坐标軸平行,計算這樣"規則"的三角形的面積,直接用面積公式

如圖2,圖3,三角形的三條邊沒有與坐标軸平行的,計算這樣"不規則"的三角形的面積,用"割"或"補"的方法

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)2

如圖4,同底等高三角形的面積相等.平行線間的距離處處相等

如圖5,同底三角形的面積比等于高的比

如圖6,同高三角形的面積比等于底的比

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)3

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)4

【典型問題】

1.(2019•揭西縣模拟)如圖,一次函數y=kx b的圖象與y軸交于A點,與x軸交于B點,二次函數y=﹣x² 2x 8的圖象經過A、B兩點.

(1)求一次函數的解析式;

(2)根據圖象直接寫出當x取何值時,kx b>﹣x² 2x 8;

(3)點P是抛物線在第一象限上的一個動點,是否存在點P,使△ABP面積最大,若存在,求出此時點P坐标以及△ABP面積,若不存在,請說明理由.

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)5

【解析】(1)先求出二次函數y=﹣x² 2x 8與y軸、x軸交點A、B的坐标,再用待定系數法求出y=﹣2x 8;

(2)根據圖象可得當x<0或x>4時,kx b>﹣x² 2x 8;

(3)過點P作y軸的平行線PQ交AB于點Q,先利用圖象上點的特征表示出P、Q兩點的坐标,再求出PQ的長,進而表示出△ABP的面積,利用頂點坐标求最值.

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)6

∵﹣2<0,∴當m=2時,即P點坐标為(2,8)時,S△ABP取得最大值,最大值為8.

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)7

【總結反思】

我們發現在解決幾何中相關面積最值問題,主要是樹立數形結合的思想,由計算圖形面積公式來尋找兩邊長之間的變量關系,利用幾何圖形的性質分别用含 x 的代數式表示出長和寬,求出 y 關于 x 的函數,讨論解答。

在這裡P是在第一象限上的一個動點這個條件,有兩個方面的作用:①限制了動點P的活動範圍,進而使得△PAB有最大值;②使得動點P的橫坐标0<m<4,進而約束了面積函數關系式自變量取值範圍,這一點極為忽視,在确定要研究問題函數關系式時,一定要考慮自變量的取值範圍。

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)8

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)9

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)10

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)11

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)12

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)13

【規律探究】

1. S△ABP為什麼會有最大值?

【規律應用】

2.(2019•黔南州一模)如圖,抛物線y=ax² bx c與x軸交于A(﹣1,0)B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,﹣3)

(1)求出該抛物線的函數關系式及對稱軸

(2)點P是抛物線上的一個動點,設點P的橫坐标為t (0<t<3).當△PCB的面積的最大值時,求點P的坐标

(3)在(1)的條件下,點P在抛物線上,點Q在抛物線的對稱軸上,若以BC為邊,以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時,求P點的坐标.

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)14

【解析】(1)設抛物線解析式為y=a(x 1)(x﹣3),将C(0,﹣3)代入求出a即可求得抛物線解析式為y=(x 1)(x﹣3)=x²﹣2x﹣3,

對稱軸為直線x=1;

(2)易求C(0,-3),B(3,0)結合上述探究出的規律,先确定出△PCB的面積的最大值時點P的坐标的橫坐标為C,B兩點橫坐标的中點橫坐标,易求 (0 3)/2=3/2,代人抛物線解析式易求得P的縱坐标為-15/4, 所以P(3/2,-15/4)

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)15

(3)設Q(1,n)),分兩種情況讨論①當PQ、PC為平行四邊形的對角線時,②當CQ、BP為平行四邊形的對角線時.綜上所述,可求得以BC為邊,以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時,可求得P點的坐标(4,5),(﹣2,5).

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)16

3. (2019•岐山縣二模)如圖,已知直線y=﹣2x 4分别交x軸、y軸于點AB.抛物線過AB兩點,點P是線段AB上一動點,過點PPCx軸于點C,交抛物線于點D

(1)如圖1,設抛物線頂點為M,且M的坐标是(1/2,9/2),對稱軸交AB于點N

①求抛物線的解析式;

②是否存在點P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由;

(2)是否存在這樣的點D,使得四邊形BOAD的面積最大?若存在,求出此時點D的坐标;若不存在,請說明理由.

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)17

【解析】(1)①由一次函數圖象上點的坐标特征求得點B的坐标,設抛物線解析式為yax﹣1/2)2 9/2,把點B的坐标代入求得a的值即,可求該抛物線的解析式為:y=﹣2x² 2x 4;

②不存在點P,使四邊形MNPD為菱形.設點P的坐标是(m,﹣2m 4),則Dm,﹣2m² 2m 4),根據題意知PDMN,所以當PDMN時,四邊形MNPD為平行四邊形,根據該等量關系列出方程﹣2m² 4m=3/2,通過解方程求得m的值,易得點NP的坐标,然後推知PNMN是否成立即可;

(2)常規思路:設點D的坐标是(n,﹣2n² 2n 4),Pn,﹣2n 4).根據S四邊形BOADSBOA SABD=4 SABD,則當SABD取最大值時,S四邊形BOAD最大.根據三角形的面積公式得到函數SABD=﹣2(n﹣1)2 2.由二次函數的性質求得最值.當n=1時,SABD取得最大值2,S四邊形BOAD有最大值.此時點D的坐标是(1,4).

沒有比較就沒有傷害,探究這一規律最起碼可以結論功效。利用上述探究出規律,很快進入解題狀态,當SABD取最大值時,S四邊形BOAD最大.由抛物線的解析式為:y=﹣2x² 2x 4易求A(2,0),B(0,4),易求出D點橫坐标為(2 0)/2=1,代入y=﹣2x2 2x 4易求出D點縱坐标為4,即可得D(1,4).

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)18

4.(2019•海口模拟)如圖,對稱軸為直線x=1的抛物線經過A(﹣1,0)、C(0,3)兩點,與x軸的另一個交點為B,點Dy軸上,且OB=3OD

(1)求該抛物線的表達式;

(2)設該抛物線上的一個動點P的橫坐标為t

①當0<t<3時,求四邊形CDBP的面積St的函數關系式,并求出S的最大值;

②點Q在直線BC上,若以CD為邊,點CDQP為頂點的四邊形是平行四邊形,請求出所有符合條件的點P的坐标.

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)19

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)20

二次函數面積最值問題經典習題(活求二次函數背景下的面積最值問題)21

總之,對于二次函數背景下一類面積最值問題,常規思路:過點P做輔助線,然後利用相關性質,找出各元素之間的關系。設動點P的坐标,然後找出各線段的代數式,再通過面積計算公式,得出二次函數頂點式,求出三角形面積的最大值。而利用探究出規律求解,很容易求解動點坐标所處什麼位置時,圖形面積取得最值,從而快速确定結果。如此深入探究一類問題解法本質屬性,可使我們擺脫題海戰術,提高解題能力,更能加快解題速度,提高解題效率,也有利于培養我們的鑽研能力和創新精神.

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