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直線和圓的位置關系高中數學
直線和圓的位置關系高中數學
更新时间:2025-04-03 09:15:35

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)1

處理直線與圓的位置關系,通常轉化為線心距d與圓半徑r的大小關系來解決,其中圓心C(a,b)到直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)2

的距離公式為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)3

一. 線圓相切

直線與圓相切的充要條件是:

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)4

例1. 直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)5

繞原點按逆時針方向旋轉後所得直線與圓

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)6

的位置關系是

A. 直線過圓心

B. 直線與圓相交,但不過圓心

C. 直線與圓相切

D. 直線與圓沒有公共點

解:已知圓的圓心為C(2,0),半徑

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)7

。由直線得斜率

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)8

,即傾斜角為。再繞原點按逆時針方向旋轉得傾斜角為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)9

,從而斜率

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)10

,所以原直線化為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)11

。由圓心C到直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)12

的距離

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)13

,知直線與圓相切,故選C。 例2. 若直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)14

與圓

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)15

相切,則a的值為

A. 1,-1

B. 2,-2

C. 1

D. -1

解:已知圓化為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)16

,知圓心C(1,0),半徑。因為直線與圓相切,所以,即

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)17

,解得

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)18

,故選D。

二. 線圓相離

直線與圓相離的充要條件是:

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)19

;已知直線上一點P到圓心C的距離的最小值為線心距d,即有等量關系:

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)20

。例3. 圓

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)21

與直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)22

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)23

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)24

)的位置關系是

A. 相交

B. 相切

C. 相離

D. 不确定的

解:圓方程化為标準方程得

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)25

,知圓心C(0,0),半徑

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)26

因為圓心到直線的距離

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)27

所以直線與圓相離,故選C

例4. 已知P是直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)28

上的動點,PA、PB是圓

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)29

的兩條切線,A、B是切點,C是圓心,那麼四邊形PACB面積的最小值為________________。解:已知圓化為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)30

,知圓心C(1,1),半徑。因為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)31

,求

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)32

的最小值就是求

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)33

的最小值,而

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)34

所以

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)35

三. 線圓相交

直線與圓相交的充要條件是:

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)36

;若直線與圓相交,則線心距d、弦長的一半

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)37

與圓半徑r構成直角三角形,即有等量關系:

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)38

。例5. 若直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)39

與圓

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)40

有兩個不同的交點,則a的取值範圍是A. (0,

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) B. (

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)42

,0)C. (

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) D. (

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)44

)解:已知圓心C(,2),半徑。因為直線與圓相交,所以,即

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)45

,平方去分母得

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)46

,解得

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)47

,故選B。 例6. 已知圓C:

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及直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)49

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)50

。當直線l被C截得的弦長為

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時,則a=A.

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)52

B.

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C.

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D.

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)55

解:已知圓心C(a,2),半徑

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線心距為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)57

因為線心距、弦長的一半與圓半徑構成直角三角形,所以

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解得

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)59

因為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)60

,所以

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)61

,故選C

例7. 設圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1。在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)62

的距離最小的圓的方程。解:設圓心C(a,b),半徑r,則C到x軸、y軸的距離分别為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)63

。由題設知圓C截x軸所得劣弧所對的圓心角是直角,所以有

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)64

;又圓C截y軸所得弦長為2,則有

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)65

,從而有

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)66

,由

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)67

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)68

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)69

當且僅當

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)70

時,d有最小值。解得

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。故所求圓的方程為

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)73

直線和圓的位置關系高中數學(怎樣處理直線與圓的位置關系)74

--END--

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