小學數學中，學生學習的數的取值範圍，主要是大于或等于0的數，對于負數隻是略有接觸，并不涉及到運算。

進入初中後，學生學習的數的範圍有兩次擴充。七年級上冊第一章(有理數)的學習，是數的範圍的第一次擴充。學習内容增加了負數，把學生學習的數的取值範圍，擴充到了有理數範圍内。

七年級下冊第六算(實數)的學習，是數的取值範圍的第二次擴充。實數的有關概念及實數的性質和運算，是初中數學的基礎知識，也是中考的必考内容之一。學生學好本章，非常重要。要學好本章，首先要把算術平方根、平方根這兩個概念要區分清楚并掌握牢。

1、算術平方根和平方根的概念。

①算術平方根:若一個正數x²=a，則這個正數x叫a的算術平方根。另外，0的算術平方根是0

如3²=9，則3是9的算術平根，表示為√9=3

②平方根:若一個數x²=a，則這個數x叫a的平方根。

如(±3)²=9，則±3是9的平方根，表示為±√9=±3

注意:非負數才有算術平方根和平方根，即a≥0，像√－9則無意義。

2、算術平方根與平方根的區别與聯系。

①區别:一是個數不同。除了0的算術平方根和平方根都是0外，正數的算術平方根隻有一個，而正數的平方根有兩個，且互為相反數。二是表示方法不同，非負數的算術平方根表示為√a，平方根表示為±√a。

②聯系:算術平方根是平方根中的一個。

常見例題解析。

例1、求下列各數的算術平方根和平方根。

625，(－3)²，√16，0.49，121/144，5

解:625的算術平方根是25，平方根是±25

(－3)²的算術平方根是3，平方根是±3

√16的算術平方根是2，平方根是±2

0.49的算術平方根是0.7，平方根是±0.7

121/144的算術平方根是11/12，

平方根是±11/12

5的算術平方根是√5，平方根是±√5

注意:1、要求一個數的平方根和算術平方根，首先應知道哪個數的平方等于它。這就要求學生記牢一些常見數的平方等多少，一般應牢記從1到20以内的所有整數的平方。

2、要确定求的是哪個具體數的平方根或算術平方根。如(－3)²=9，√16表示16的算術平方根等于4，讓求的是4的算術平方根和平方根。

3、求帶分數的平方根時，應把它化為假分數

4、當在有理數範圍内無法找到平方根或算術平方根時，應用二次根号直接表示出來。比如5的平方根是±√5。

例2、已知a－2的算術平方根是0，3a b－1的算術平方根是5，求b－a²的算術平方根。

解:∵0的算術平方根是0

∴a－2=0，a=2

∵25的算術平方根是5

∴3a b－1=25，又∵a=2

∴3×2 b－1=25，b=20

∴b－a²=20－2²=16，16的算術平方根是4。

答:b－a²的算術平方根是4。

例3、已知一個正數x的兩個平方根是2a－3，

5－a，求a和x的值。

解:∵一個正數的兩個平方根互為相反數，而互為相反數的兩個數的和為0。

∴2a－3 5－a=0解得a=－2

2a－3=2×(－2)－3=－7

x=(－7)²=49

答:a值為－2，x值為49。

3、算術平方根的性質:√a≥0且a≥0(熱門考點)

例1、已知√a 2 (b 5)² 丨c－1丨=0，那麼a－b c的值為____。

注意:非負數的和為0，則每個數都等于0。初中常見的三個非負數形式①算術平方根。②實數的偶次方。③絕對值。

解:∵√a 2≥0，(b 5)²≥0，丨c－1丨≥0

又∵√a 2 (b 5)² 丨c－1丨=0

∴√a 2=0，b 5=0，c－1=0

∴a=－2，b=－5，c=1

∴a－b c=－2－(－5) 1=4

例2、已知a，b為有理數，且√a－5 2√5－a=b 4，求a，b的值。

分析:可根據被開方數應大于或等于0求解。

解:∵a－5≥0，5－a≥0

∴a=5

又∵√a－5 2√5－a=b 4，

∴b 4=0，b=－4

4平方根的性質:正數有兩個平方根，且它們互為相反數，0的平方根是0，負數沒有平方根。

例1、已知一個正數的兩個平方根分别是x 3和x－1，求這個正數。

解:∵正數的兩個平方根互為相反數，互為相反數的兩個數和為0

∴x 3 x－1=0

∴x=－1，

∴x 3=－1 3=2

∴這個正數等于2²=4

例2、若2m－4與3m－1是同一個數的平方根，則m的值是____(易錯題)

A、－3，B、－1，C、1，D、－3或1

分析:因為2m－4與3m－1是同一個數的平方根，它可能是兩個數，則互為相反數；也可能是同一個數，則相等。

解:①(2m－4) (3m－1)=0

解得m=1

②2m－4=3m－1

解得m=－3

所以應選D

注意:這兩題的區别，例1是一個正數的兩平方根，例2是一個數的平方根，例2缺了個詞語“兩”，解答方式就有所不同。

5、算術平方根小數點位置的移動規律:被開方數的小數點每移動兩位，算術平方根的小數點向相同的方向移動一位。

例1、已知√23≈4.80，√230≈15.17，

則√0.0023的值約為____，√23000的值為____

分析:因為0.0023是23的小數點向左移動4位得到的，所以0.0023的算術平方根，應是23的算術平方根向左移兩位。即√0.0023≈0.0480。

而23000則是230的小數點向右移兩位得到的，所以23000的算術平方根應是230的算術平方根向右移一位。即√23000=151.7