《數學歸納法》課堂實錄

前面我們學習過合情推理和演繹推理。今天我們再着重講講合情推理中的歸納推理。

複習引入

完全歸納法：逐個驗證

不完全歸納法：驗證部分，然後猜想

眼見一定為實嗎？

烏鴉真的全是黑的嗎?

不是！世界上确實存在着全身白色或身體部分是白色的烏鴉。

例如，非洲的坦桑尼亞就有三種并非全黑的烏鴉，一種叫做斑駁鴉，身長40多厘米，頸項上有白色的圈，胸部是白色的羽毛;另一種叫白頸大渡鴉，頸部和背部都生長着月牙形的白毛，非常好看，還有一種叫鬥篷白嘴 鴉，嘴是白色的。最令人驚奇的，是在日本發現了一隻全身皆白的真正的白烏鴉！

歸納法兩種形式比較

既然，用不完全歸納法得到的結論未必可靠，那我們就需要對歸納出的結論進行适當的驗證，才能在生活中加以應用。

這節課主要研究，對于不能逐一驗證的結論，該如何去進行證明。

新課導入

“多米諾骨牌遊戲原理探秘”

你知道多米諾骨牌嗎？

問題1. 在多米諾骨牌遊戲中，你知道能讓所有的多米諾骨牌倒下的條件是什麼？

（動圖觀察、讨論、歸納）

問題2. 第一塊骨牌倒下，說明遊戲的開始。那你認為，條件（2）的作用又是什麼？

分析講解：

要完成多米諾骨牌遊戲：

首先，要讓第一塊骨牌倒下，這是遊戲能夠完成的基礎，如果第一塊不倒下，遊戲必然不能完成；

其次，條件（2）中第k 1塊骨牌倒下，必須是由第k塊骨牌倒下而引起的（風吹倒的算嗎？），這樣才能保證依次遞推（依次推倒）的效果。

這種感覺，是不是有點類似數列遞推公式中，由第一項能求第二項、再由第二項能求第三項、再由第三項能求第四項……那樣可以無限求下去？

當然，在數列中，首先要已知了首項，才能确保後續的遞推有意義了。

這種感覺，是不是也有點象久違了的《算法》中的——循環結構了呢？

新課講解

多米諾骨牌原理的應用：

對于某些含有正整數n的命題證明，可以試着仿照這樣的思路。

比如：

分析：

顯然，左式用常規求和方法是非常困難的，但是因為n的可以無限大，該等式也沒有辦法依次進行驗證。

那我們不妨考慮，是否能用多米諾骨牌的原理去進行說明？

比如：首先驗證n=1時，等式成立；

再驗證如果n=k等式成立時，看能否證明n=k 1時等式也成立。如果也成立的話，那是不是就有點多米諾骨牌的意思了呢？

證明：

綜合（1）（2）可知，

原等式成立。

這種方法稱之為“數學歸納法”。

其中，第一步為“歸納基礎”，

相當于“第一塊骨牌成功倒下”；

第二步為“歸納遞推”，

相當于“前一塊骨牌倒下，引起了後一塊骨牌的倒下”。

有了這兩個條件，對于所有的n來說，等式都是成立的（相當于所有的骨牌都能倒下）。

數學歸納法

數學歸納法的基本原理

有比較，好理解

解法分析

證法賞析：

問題1. 上述證法正确嗎？

問題2. 上述證法與多米諾骨牌原理相符嗎？

問題3. 上述證法是數學歸納法嗎？

評析：

對本題結論來說，上述證明方法沒有太大問題，而且處理過程有思想、有技巧。

但是，在第二步驗證n=k 1等式成立時，并沒有用到n=k的假設，那麼這個假設其實就是多餘的。相當于在堆積多米諾骨牌時，後一塊骨牌的倒下與前一塊骨牌沒有任何關系，這當然是不符合遊戲原理的。

因此，從方法的角度來說，這種證明方法可以看作放縮法，但不屬于數學歸納法，

數學歸納法：

特别說明：

1. 在用數學歸納法證明與自然數有關的命題時，務必要确保“兩個步驟、一個結論”的結構完整。
2. 在用數學歸納法證明時，n=k 1的證明務必要用到歸納假設，否則，不屬于數學歸納法。

課堂小結

課後練習