意大利科學家伽利略曾說“自然這部大書隻能被那些通曉其中所寫語言的人閱讀，這種語言正是數學”。

　　數學究竟是什麼？數學有什麼用？是什麼讓足球比賽出現在屏幕上？我們如何預測天氣、股票市場？它們背後又與數學有怎樣的關聯？在《數學的語言：化無形為可見》中，這些問題得到了全面的探讨與解答。數學，是一切科學學習的基礎。唯有借助數學，才能顯現萬物背後隐藏的真理。數學遠不是一門枯燥而深奧的學科，而是我們生活中豐富而生動的一部分。《數學的語言》探索了這個經常被誤解的學科，呈現了數學的簡單、精确、純粹和優雅。

　　《數學的語言：化無形為可見》

　　[美]齊斯·德福林 著

　　洪萬生 等譯

　　廣西師範大學出版社出版

　　一切都不隻是數字

　　何謂數學？随機向人們提問，你可能獲得的答案是，“數學是有關數字的一種學問”。如果繼續追問他們所謂的學問是哪一種，你或許可以誘導他們提出譬如“那是一種有關數字的科學”之描述。不過，這大概是你可以得到的最多的信息。而這一種有關數學的描述，在大約2500年前，就已經不再正确了。

　　在這樣嚴重的誤導之下，你所随機抽樣的人們無法體會數學研究是一種興旺且無所不在的活動，或是接受數學經常相當程度地貫穿我們日常生活與社會大部分活動的看法。這毫不令人意外。

　　事實上，“何謂數學”這個問題的答案，在人類曆史過程中，已經數度更易了。

　　到公元前500年左右，數學的确是有關數字（number）的一種學問。這是古埃及和古巴比倫時期的數學。在這些文明中，數學所包括的，幾乎都以算術（arithmethic）為主。它大部分屬功利取向，而且充滿了“食譜”的特色（譬如，“對一個數字這樣做、那樣做，你将會得到答案”）。

　　從大約公元前500年到公元300年的這一時期，是希臘數學的時代。古希臘的數學家主要關心幾何學（geometry）。誠然，他們按幾何方式，将數字視為線段長之度量，而當他們發現有數字缺乏對應的線段長時，有關數字的研究就停頓下來了。對于希臘人而言，由于他們強調幾何學，所以，數學不隻研究數字，而且也是有關形狀（shape）的學問。

　　運動中的數學

　　一直到17世紀中葉，英國的艾薩克·牛頓（Issac Newton）和德國的戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）各自獨立發明微積分之前，數學的整體本質未曾有過根本的變革，或者說幾乎沒有任何顯著的進展。

　　實質來說，微積分是研究運動（motion）和變化（change）的一門學問。在此之前的數學大都局限于計算、度量和形狀描述的靜态議題上。現在，引進了處理運動和變化的技巧之後，數學家終于可以研究行星的運行、地球的落體運動、機械裝置的運作、液體的流動、氣體的擴散、如電力和磁力等物理力、飛行、動植物的生長、流行病的傳染、利潤的波動等。在牛頓和萊布尼茨之後，數學變成了研究數字、形狀、運動、變化以及空間（space）的一門學問。

　　大部分涉及微積分的初始問題都導向物理的研究；事實上，該時期很多偉大的數學家也被視為物理學家。不過，從大約18世紀中葉之後，當數學家着手了解微積分為人類帶來的巨大力量背後是什麼時，他們對于數學本身的興趣與日俱增，而不再隻是關注數學應用而已。因此，當今日一大部分純數學被發展的時候，古希臘形式證明的傳統卷土重來掌握了優勢。到 19世紀末，數學已經成為有關數字、形狀、運動、變化、空間以及研究數學的工具的一門學問。

　　發生在20世紀的數學活動之爆發相當戲劇化。在1900那一年，世界上所有的數學知識可以全部裝入大約80部書籍之中。而在今日，數學将必須有十萬部書籍才能容納。這種非比尋常的成長，不隻源自一個世紀以來數學的增進，也因為許多新的分支已紛紛湧現。在1900年，數學可以被視為包括了大約12個主題：算術、幾何、微積分等。至于今日，60到70之間的不同範疇，将是一個合理的數字。某些主題，譬如代數和拓撲學（topology），已經被細分為不同的子領域；至于其他主題，譬如複雜理論（complexity theory）或動态系統理論（dynamical systems theory），則是全新的研究領域。

　　進步之符号

　　在數學史上，可辨識的代數符号初次有系統地使用，似乎是從丢番圖（Diophantus）開始的。他在大約公元250年住在亞曆山大城（Alexandria）。他的論著《算術》（Arithmetic）——僅存原先13卷中的6卷——通常被視為第一本“代數教科書”。丢番圖使用特殊的符号去代表一個方程式中的未知數，及未知數之乘幂；同時，他也運用了表示減與相等的符号。

　　在今日，數學書籍總是到處充斥着符号；但是，數學符号并不等于數學，其情況就如同記譜法并不等于音樂一樣。樂譜的一頁呈現一段音樂；當樂譜上的音符被唱出來或者被樂器演奏時，你才可以得到音樂本身。也就是說，在它的表演中，音樂變得有了生命，并且成為我們經驗的一部分。對于數學來說也是一樣，書頁上的符号隻不過是數學的一種表現（representation）。要是讓一位有素養的表演者（譬如，受過數學訓練的某人）來讀的話，印刷頁上的符号就擁有生命——正如同抽象的交響曲一樣，數學在讀者的心靈之中存活與呼吸。

　　數學與音樂有這麼多的相似性，兩者都有各自抽象的符号，并且都為各自的抽象法則所支配，所以如果說很多（或許大多數）數學家也擁有音樂天分，那是一點也不令人驚訝的。雖然隻有少數受過很好音樂訓練的人可以讀懂樂譜，并且在心靈之中聽到這段音樂，不過，如果同一段音樂由一位有素養的音樂家來演奏，那麼，任何人隻要擁有聆聽的感官能力，也将能夠欣賞。無須專業訓練，任何人都将有能力經驗與享受音樂表演。

　　然而，對于數學的大部分曆史而言，欣賞數學的唯一方法，就是去“視讀”（sight read）其中的符号。盡管數學的結構與類型一點一滴反映了人類心靈的結構并與之産生共鳴，好比音樂的結構與模式一樣，但人類卻并未發展出一雙耳朵的數學等價物體。數學隻能利用“心靈的眼睛”（eyes of the mind）而得到“觀看”。這種情況就好比某人即便缺乏聽覺能力，但隻要能夠“視讀”記譜法，他仍将可以欣賞音樂的模式與調諧的樂音。

　　不過，由于近年來電子計算機與視頻技術的發展，在某種程度上，數學變得更容易讓門外漢親近。在訓練有素的使用者手上，計算機可以用來“操弄”數學，而且其結果也可以展示成為屏幕上所有人都可見得到的形式。雖然目前隻有一小部分數學容許這樣的視覺“操弄”，然而，我們已經有能力多少傳遞一點數學的美與調諧給門外漢，而這些當然是數學家研究數學時，所“看到”以及所經驗到的。

　　隐藏在符号中的美

　　在出版于1940年的《一個數學家的辯白》中傑出的英國數學家哈代（G.H.Hardy）描述道：數學家的模式，就好比畫家的或詩人的一樣，必須是美的；理念就像色彩或文字一樣，必須按和諧的方式安排在一起。美是第一個試煉；在這個世界上，醜陋的數學沒有永遠的栖身之所……我們可能很難定義數學的美，然而，它就像其他種類的美之真實一樣——我們或許無法完全知曉所謂一篇美的詩是什麼意思，但是，當我們得讀一篇時，那并不會妨礙我們認識它。

　　哈代所指涉的美，在很多情況下，都是一種高度抽象的内在美，抽象形式與邏輯結構的一種美，一種隻可以被那些受過充分數學訓練的人所觀察與欣賞的美。根據英國著名數學家兼哲學家伯特蘭·羅素（Bertrand Russell）的看法，它是一種“冷冽與樸實無華的”美。在出版于1918年的《神秘主義與邏輯》（Mysticism and Logic）中，羅素寫道：如果對數學加以正确考察，我們會發現，它所包括的不隻是真理，還有至高無上的美——一種冷冽與樸實無華的美，就像雕刻的美一樣，不必訴諸我們較弱本性的任一部分，無須繪畫與音樂的奢華裝飾，卻還是具有莊嚴的純粹，以及隻有偉大的藝術才能表現的一種冷酷的完美。

　　讓不可見變成可見

　　我們已經利用“數學是模式的科學”這一口号來回答“何謂數學？”這一疑問。有關數學，還有另一個根本的問題，能以一個吸引人的短語來回答：“數學作什麼用？”我的意思是說，當你應用數學來研究某些現象時，數學真正帶給你的是什麼？這一問題的答案是，“數學讓不可見變成可見”。

　　接下來，請允許我舉一些例子，以便說明我這個答案的意義。要是沒有數學，你将無從理解，是什麼東西讓一架巨型噴氣式飛機浮在空氣中。正如我們都知道的，大型金屬物體如果沒有東西支撐，根本無法停留在空中。但是，當你注視一架噴氣式客機飛過你的頭頂時，你看不到任何支撐物。是數學讓我們“看到”令飛機飄浮高處的是什麼。在本例中，讓你“看到”那些不可見的支撐物的，是一個在18世紀早期被數學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）發現的方程式。

　　當我正在讨論飛行主題時，是什麼原因促使飛行器以外的物體一被我們松開便墜地？你回答：“是重力。”然而這隻不過是給它一個名字，這無助于我們理解它。它仍然是不可見的。我們也可以稱它是一種“魔術”。為了理解重力，你必須“看到”它。那正是牛頓在17世紀利用他的運動和力學方程式所做的事。牛頓的數學幫助我們“看到”那些讓地球繞着太陽旋轉，以及造成蘋果從樹上墜地的不可見之力。

　　在此，有一些我們可以經由數學“看到”的人為模式：

　　l亞裡士多德企圖使用數學去“看”我們認定為音樂的不可見的聲音模式。

　　l 他還試圖使用數學描述一出戲劇表演的不可見結構。

　　l 在20世紀50年代，語言學家諾姆·喬姆斯基（Noam Chomsky）使用數學去“看”并描述我們認定為文法語句的不可見的、抽象的文本模式。于是，他将語言學從人類學一個相當晦澀的分支，轉變成為一門蓬勃發展的數理科學。

　　最後，使用數學，我們可以展望未來：

　　l 概率論與數理統計學讓我們預測選舉的結果，且往往有着出色的準确率。

　　l 我們使用微積分預測明日的天氣。

　　l 市場分析師企圖使用各種數學理論預測股票市場的行為。

　　l 保險公司使用統計學與概率論去預測來年一場事故發生的可能性，從而據以設定他們的保費。

　　當時代引領我們展望未來時，數學允許我們将另外一些不可見——亦即尚未發生之事——變為可見。當然，我們的視界并不完美，預測失準在所難免，不過，要是沒有數學，我們甚至連差勁地展望未來都不可能。

　　不可見的宇宙

　　今日，我們生活在一個技術型的社會。當我們環顧四周，在地球表面上，已經愈來愈少有地方見不到我們的技術帶來的産品：高樓、橋梁、電線、電話線、路上的汽車、天上的飛行器，等等。溝通曾經需要物理的近距離，今日我們大部分的溝通則是由數學作為媒介，沿着電線或光纖，或者經由以太網，按數字形式來傳遞。電子計算機——機械執行數學（運算）——不隻是我們的桌面計算機而已，它們存在于每一個事物之中，從微波爐到汽車，從兒童玩具到電子心髒定調器，等等。數學——基于統計學的形式——決定我們将食用哪些食物，将購買哪些産品，将看到哪些電視節目，以及将投票給哪些政客。正如工業（革命）時代的社會燃燒煤炭以啟動引擎，在今日信息時代，我們所燃燒的主要燃料，則是數學。

　　還有，在過去半個世紀内，随着數學的角色變得愈來愈重要，數學也愈來愈隐身在我們的視界之外，構成一個支撐我們的不可見宇宙。正如我們的一舉一動都受制于自然的不可見之力（譬如重力），我們現在生活在一個由數學創造，并且由不可見的數學定律支配的不可見宇宙。

　　作者：齊斯·德福林

　　編輯：周怡倩

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