給出一組向量（3，-1，1）和（2，2，-1），我們用它來構建一個方程式組，提取系數矩陣，再畫出圖形，如下：

讓我們帶上一點強迫症的情緒去審視它們，有毛病沒，老鐵？

有，太有了！

方程：有三個未知數，為什麼隻有兩個方程？

矩陣：三列為什麼配兩行，橫豎不能一樣長嗎？

圖形：三維坐标系，怎麼隻畫了兩條向量線段？

如果你也有上述自我強迫式的疑問，那恭喜你，你的線性代數，要有“秩”的飛躍了。

注意兩件事：

1、齊次線性方程組的幾何含義是，畫出給定的兩條向量線段的垂直線段（或直線）；

2、原點（0，0，0）與任意一條向量線段垂直。

那麼，在求解之前，關于方程組、矩陣和圖形的完整表述應該是這樣的：

從圖形可以看出，與兩條向量線段垂直的是一條直線，那麼，可以取任意值。試取，得。用解向量（）替代零向量（0，0，0），代入矩陣和圖形中，如下圖：

從圖形的角度看，求解齊次線性方程組也是在測度向量空間。如果向量空間是飽滿的，則方程無解；如果向量空間不夠飽滿，則方程有解，并且解向量正好将它填充。

那麼，在不求解的情況下，如何測度向量空間呢？分析一下系數矩陣就可以了，而分析的結果就是矩陣或向量組的“秩”。

給出“秩”的定義：

矩陣的秩：設在矩陣中有一個不等于的階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于0，那麼稱為矩陣的最高階非零子式，數稱為矩陣的秩，記作，并規定零矩陣的秩為。

向量組的秩：設的向量組，如果

（1）、在中有個向量線性無關；

（2）、中任意個向量（如果中有個向量的話）都線性相關，那麼稱是向量組的一個最大線性無關向量組，簡稱最大無關組；數稱為向量組的秩，并規定隻含零的向量組的秩為。

對于階子式，我們可以把它理解為對N維空間的解構， 以三維空間為例，二維平面和一維直線便是三維空間的“階子式”。基于有線才有面、有面才體的常識，判定N維向量空間的飽滿程度（即矩陣或向量組的秩），可以從二維平面是否有面積（即二階子式是否為0）開始。

試想一下，常見的三維體都有幾個面？長方體有六個面，三棱柱有五個面，三棱錐有四個面。所以，某個二維平面面積為0（即階子式為0），并不影響三維體的體積，隻要找一個面積不為0的二維平面（即階子式），再由低階向高階推演，就可以算來矩陣或向量組的秩了。

比如，上面列出的矩陣：

如果将列向量看作是向量線段，那麼向量空間是2維的，2維平面有三條向量線段，兩條即可成面，所以，這個矩陣則是滿秩的，秩為2，也就是維度數。

如果将橫向量看作向量線段，隻需要增加一個零量（0，0，0），即

三維的向量空間裡，隻有兩條向量線段，任一個二階子式不為零，就意味着兩條向量線段不共線。而三階子式（即矩陣本身）是0，意味着這個矩陣對應的是一個二維平面，它的秩為2，而向量空間的維度數是3。

總之，矩陣的“秩”與齊次線性方程組的解、向量組的線性相關和線性無關、向量空間的飽滿度，在内在含義上是相通的。