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三角形的三條中線交于一點對不對
三角形的三條中線交于一點對不對
更新时间:2025-03-18 15:25:07

我們學過三角形三條中線的交點叫做三角形的重心,這個重心有一堆重要的性質。

可是有人好奇三角形三條中線為什麼會交于一點嗎?

這個問題等價于如下問題:△ABC中,BEAC邊上中線,CFAB邊上中線,BECF交于O,連接AO并延長與BC交于D,證明ADBC邊上中線。

三角形的三條中線交于一點對不對(為什麼三角形三條中線相交于一點)1

【提示】中線,會引申或者聯想到哪些可能的性質?除了被分成的兩段線段長度相等這個直觀結果,還有哪些常用的套路?

做輔助線構造中位線?

倍長中線?

通過邊長相等構造全等三角形?

其實當給出中線這個條件時,首選也是最常用的技巧就是“構造中位線”!

不過這個問題中,直接連接EF做中位線是無用的,因為不好與BC這裡産生關聯。為了與BC産生關聯,應朝着向下的方向嘗試做輔助線。

方法:過點BBG平行于CFAD的延長線于G。連接CG

三角形的三條中線交于一點對不對(為什麼三角形三條中線相交于一點)2

因為BGCFFAB中點,因此OAG中點(△ABG中位線)

EAC中點,因此OE△ACG中位線,于是OECG

四邊形BOCG兩組對邊分别平行,是平行四邊形。

平行四邊形的對角線互相平分,因此BD=CD。命題得證。

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