接觸波特圖也十來年了。我始終處于時懂時不懂的狀态。記得最牢的一段内容：右半平面零點，幅頻曲線在零點頻率附近開始以20dB每10倍頻地增加；相位曲線在0.1倍零點頻率附近開始增加，到零點頻率附近增加了45度，到10倍零點頻率附近增加了90度，此後相位保持不變；右半平面極點，幅頻曲線在極點頻率附近開始以20dB每10倍頻地降低；相位曲線在0.1倍極點頻率附近開始減小，到極點頻率附近減小了45度，到10倍極點頻率附近減小了90度，此後相位保持不變。

今日這篇文章，我來簡單推導幅頻曲線，保證你看一遍就會了，我想是這樣。一個系統可以用傳輸函數來表征，我們又可以采用幅頻特性和相頻特性來分析傳輸函數。

先看單一零點的傳輸函數，假設直流增益為1, 見圖1所示。這個傳輸函數在頻率為零時，增益為1; 頻率在零點處，增益為根号2, 或者說3dB; 頻率在10倍零點頻率處，增益為10, 或者說20dB; 頻率在100倍零點頻率處，增益為100, 或者說40dB. 事實上，從低頻到零點頻率再到10倍零點頻率，增益由原來的0dB增加至3dB, 再增加至20dB. 此後才是按上述的規律，每10倍頻增加20dB.

圖1: 單一零點傳輸函數的幅頻特性

圖2為單一極點的傳輸函數，同樣假設直流增益為1. 與圖1類似，這個傳輸函數在頻率為零時，增益為1; 頻率在極點處，增益為根号2分之一, 或者說-3dB; 頻率在10倍極點頻率處，增益為1/10, 或者說-20dB; 頻率在100倍極點頻率處，增益為1/100, 或者說-40dB. 事實上，從低頻到極點頻率再到10倍極點頻率，增益由原來的0dB降低至-3dB, 再降低至-20dB. 此後才是按上述的規律，每10倍頻減小20dB.

圖2: 單一零點傳輸函數的幅頻特性

接下來，來看零點和極點組合的情況，極點頻率為10倍零點頻率，同樣假設直流增益為1, 見圖3. 這個傳輸函數在頻率為零時，增益為1; 頻率在零點處，增益約等于根号2, 或者說3dB; 頻率在極點處，增益為10除以根号2, 或者說17dB; 在10倍極點頻率處，增益為10, 或者說20dB, 此後不管頻率怎麼變，增益均保持不變. 總結一下，從低頻到零點頻率，到極點頻率，再到10倍極點頻率，增益由原來的0dB增加至3dB, 增加至17dB，再增加至20dB, 此後才是按照俗說的規律零點和極點的作用相互抵消。

圖3: 簡單零極點組合的傳輸函數的幅頻特性

最後，來看一個難度大一些的零點和極點組合的情況，極點頻率為2.4倍零點頻率，同樣假設直流增益為1, 見圖4. 這個傳輸函數在頻率為零時，增益為1; 頻率在零點處，增益約等為根号2除以1.08, 或者說2.3dB; 頻率在極點處，增益約等于2.6除以根号2, 或者說5.3dB; 在10倍極點頻率處，增益為2.4, 或者說7.6dB, 此後不管頻率怎麼變，增益均保持不變. 總結一下，從低頻到零點頻率，到極點頻率，再到10倍極點頻率，增益由原來的0dB增加至2.3dB, 增加至5.3dB，再增加至7.6dB. 此後才是按照俗說的規律零點和極點的作用相互抵消。而此前零點和極點相互影響，不再是簡單的每10倍頻增加或減小20dB.

圖4: 較複雜零極點組合的傳輸函數的幅頻特性

有沒有發現一個規律呢？當頻率大于10倍極點頻率，增益為極點與零點的倍數關系。