初中解幾何題時加輔助線的技巧-tft每日頭條

中考幾何進階 11 輔助線法則（11）一道求面積的題

題：已知長方形ABCD面積是36，E、F分别是AB、BC中點；BD、DF分别交CE于G、H，求陰影面積。

初中解幾何題時加輔助線的技巧（中考幾何進階11輔助線法則）1

〖分析〗

先把殘餘的四方形劃分成三角形：連接DE、BH。不建議AG和FG，因為圖形中有相似三角形，要利用這個條件，因為面積比無非就是和線段比發生關系。各三角形标号如圖，便于講解。

初中解幾何題時加輔助線的技巧（中考幾何進階11輔助線法則）2

見圖，②＋③和⑤這兩個三角形相似（∵AB∥CD），相似比k=CD∶EB=2。這個是關鍵。

由等積模型易知，S(△BDF)＝S(□ABCD)/4＝=9；顯然需要求得③号的面積：陰影面積＝S(△BDF)－S(③)。

由平行四邊形等積模型，②＋③＋④這個三角形面積是□ABCD的一半：S(②＋③＋④)＝S(□ABCD)/2＝18。這樣，或者求出②或④的面積，或者求出它們與③的面積比。

先看④，顯然S(④＋⑤)＝S(□ABCD)/4＝9；而且S(④)∶S(⑤)＝k＝2，解得：S(⑤)＝3，S(④)＝6。

接下來就得解決②号的面積問題了。看不出能直接求②号面積的途徑，所以尋求②與③号的面積比，這必然要通過“中介”。所謂中介者，既要與②号有關系，又要與③号有關系。

一個明顯的中介是⑤号，S(②＋③)∶S(⑤)＝k^2，S(②＋③)＝4 S(⑤)＝12，又拐到要求②号面積，由前分析，此路不通。

另一個可能的中介是①号。在①＋②＋③這個三角形中，由燕尾定理可知：S(①＋③)∶S(②)＝BF∶FC＝1，即S(①＋③)＝S(②)。

這就要求尋找①和③的面積比（顯然直接求①号面積困難程度等同于②）。而在③＋①三角形中，再由燕尾定理，S(③)∶S(①)＝k；即S(③)＝2 S(①)，聯合S(①＋③)＝S(②)可解得S(②)＝3 S(③)/2。

好了，問題解決了。回到S(②＋③＋④)＝S(□ABCD)/2＝18，把S(②)＝3 S(③)/2和S(④)＝6代入，解得S(③)＝12/5。

最後，陰影面積＝S(△BDF)－S(③)且S(△BDF)＝S(□ABCD)/4＝9（見前），解得：陰影面積＝21/5＝4.2。

另：附帶可解得，GH∶HC＝S(③)∶S(②)＝2:3，以及DH∶HF＝4:1。所以，可以體會一下由面積比求得線段比，何時可以走這條路。