例。如圖，平行四邊形 ABCD 中，BC = BD. 點 F 是線段 AB 的中點. 過點 C 作CG⊥DB 于點 G，延長 CG 交 DF 于點 H，且 CH = DB.

(1) 若 DH = 1. 求 FH 的值; (2) 連接 FG. 求證: DB = √(2)FG HG.

(1) 解：如下圖 ，在平行四邊形 ABCD 中：BC = AD.

又∵BC = BD，CH = DB.(已知)

∴BC = BD = CH = AD.

∴ △ABD 與 △BHC 都是等腰三角形.

又∵點 F 是線段 AB 的中點.

∴ DF⊥AB. 又∵CG⊥DB .

∴ 點 B, G, H, F 共圓.

∴∠DHC = ∠FBD.

又 AB∥CD， DF⊥AB. → DF⊥CD .

∴∠CDH = ∠DFB = 90°.

又∵CH = DB.

∴ Rt△DHC ≌ Rt△FBD.

∴ DH = FB，CD = DF . 又 DF⊥CD .

∴ △CDF 是等腰直角三角形.

∴∠DFC = 45°. 又∵DF⊥AB .

∴∠BFC =∠DFC = 45°.

又連接 FC 交 BH 于點 O，交圓于點 M.

則 HM = BM.

又∵CH = CB, CM = CM.

∴ △CMB ≌ △CMB.

∴∠HMC = ∠BMC , 故 ∠HMF = ∠BMF.

∴ FH = FB.

∴ FH = FB = DH = 1.

(2) 證明：如圖 2，由(1)的解答知：DF⊥FB，FH = FB.

∴ △BFH 是等腰直角三角形.

由(1)的解答知： 點 B, G, H, F 共圓, 且 HM = BM.

∴∠HMB = 180°- ∠HFB = 180°- 90° = 90°.

∴ △BMH 是等腰直角三角形.

∴四邊形 BMHF 是正方形, 點 O 是此正方形的外心.

又CH⊥DB → 點 G 在圓O 上. → ∠CGM =∠HFM =45°.

∵FM 是圓O 的直徑，∴ FH⊥HM , FG⊥GM.

延長 GM 到點N ，使 GN =GF，則得等腰直角 △FGN.

∴ NF =√(2)FG，∠N = 45°= ∠CGM .

又∵ FH⊥HM , FD⊥BF， FD⊥DC.

∴BF∥MH∥CD，又由(1)知：HF =DH.

∴FM = CM. 又 ∠GMC =∠NMF

∴ △GMC ≌ △NMF.

∴ GC = NF =√(2)FG.

∴ DB = CH = CG HG = √(2)FG HG. 證畢！