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高等數學最大值最小值問題
高等數學最大值最小值問題
更新时间:2025-04-26 12:39:35

上節課我們學習了極限的相關知識概念及解題方法,今天我們學習無窮小的有關知識。

什麼是無窮小? 無窮小是指在某一極限過程中以零為極限的變量稱為無窮小

高等數學最大值最小值問題(第一章第二講無窮小和它的階)1

在無窮小的定義中我們提到了極限,那極限與無窮小又有什麼關系呢?

高等數學最大值最小值問題(第一章第二講無窮小和它的階)2

從無窮小與無窮大的比較中我們看到,a為無窮小量,那麼1/a就為無窮大量。在這裡提醒大家在解題時我們可以把0理解為無窮小,但是無窮小不是0,隻是無限趨近于0,這一點是易混淆之處。

無窮小的運算性質:(1)有限個無窮小的代數和仍為無窮小(2)有限個無窮小的積仍為無窮小(3)有界變量與無窮小的乘積亦為無窮小。對于(3)我們強調下有界變量類似于sinx,cosx等等其值域在[-1,1],所以與無窮小的乘積還是無窮小。

注意:1.無窮大量不具有無窮小量相應的運算性質,不可将無窮小量的運算性質應用到無窮大量運算之中。2.無窮大量的運算性質通常轉化為無窮小量的運算來進行。

設a(x)與b(x)為同一個極限過程中的無窮小,且存在極限lima(x)/b(x)=t

(1)若t≠0,則稱a(x)與b(x)在該極限過程中為同階無窮小

(2)若t=1,則稱a(x)與b(x)在該極限過程中為等價無窮小,記為a(x)--b(x)

(3)若t=0,則稱在該極限過程中a(x)是b(x)的高階無窮小,記為a(x)=o(b(x))

當然,若lima(x)/b(x)不存在(且不為∞),稱a(x),b(x)不可比較

常見的等價無窮小

當x→0時,sinx--x,tanx--x,ln(1 x)--x,e^x-1--x,a^x-1--xlna,arcsinx--x,arctanx--x

1-cosx--x²/2,(1 ax)^b-1--abx

學習了無窮小接下來看幾道題目

高等數學最大值最小值問題(第一章第二講無窮小和它的階)3

解:這個題拿過來,先把0帶入分子分母為0/0型,那就可以用我們的等價無窮小來代替,分子代替為

xln(2 cosx/3),分母為x^3,約分之後limln(2 cosx/3)/x²,分子可以寫成ln(1 (cosx-1)/3)

再利用等價無窮小ln(1 x)--x把分子替換為cosx-1/3,再根據等價無窮小1-cosx--x²/2把分子改寫為-x²/6,

而分母是x²,約分之後為-1/6。

注意再在每次使用等價無窮小進行替換時要注意帶入x→0看分子分母是否滿足0/0 型,這個題目3次用等價無窮小,3次必須全部滿0/0型。

高等數學最大值最小值問題(第一章第二講無窮小和它的階)4

這個題目就看x→0時,lima(x)/b(x)是否為0,首先排除A,B為什麼因為1-cosx--x²/2,階數AB是一樣的,為2階,所以都排除,C有平方還有平方根更要排除,階數1階比A,B都要低,再看D,lim(x-tanx)/x²,符合0/0型,洛必達法則lim(1-sec²x)/2x=lim-tan²x/2x=lim-x/2=0,所以答案為D

親愛的小夥伴們,這就是我們今天所講的關于無窮小的概念、運算性質及等價無窮小替換方面的知識,不懂得以及小編做的不足之處可以反饋給小編,及時的收藏下,關注下小編,小編每天也會及時的更新數學方面的知識,感恩一路有你們陪伴。

下節課我們講有關連續與間斷方面的知識。

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