大家對乘法口訣一定熟記于心，例如二二得四、三三見九，四四一十六，五五二十五，因此四的算術平方根為二，九的算術平方根為三，十六的算術平方根是四，二十五的算術平方根是五。

然而，負數的平方根是什麼樣呢？square(-1)和square(-5)之類的表達式有什麼意義嗎？

如果從有理數（實數）的角度來揣想這樣的數，你一定會得出結論：這樣的式子沒有任何意義，你一定不是一個人在戰鬥，12世紀的印度數學家拜斯伽羅已經給出結論：“正數的平方是正數，負數的平方也是正數。因此一個正數的平方根是兩重的：一個正數和一個負數。負數沒有平方根，因為負數并不是平方數。”但是數學家的脾氣倔強得很，如果有些看起來沒有意義的東西不斷在數學公式中冒頭，他們就會盡可能創造出一些意義來。那麼負數的平方根就在很多地方冒過頭，既在古老而簡單的算術問題上出現，也在20世紀相對論的時空結合問題上露面。那麼誰是第一個“吃螃蟹”的勇士呢？是16世紀的意大利數學家卡爾丹（Cardan）。在讨論是否有可能将10分成兩部分，使兩者的乘積等于40時，他指出：這個問題沒有任何有理解，然而，如果把答案寫成5 square(15)和5-square(15)這樣兩個怪模怪樣的表達式，就可以滿足要求了。

既然有人敢把負數的平方根寫下來，并且，盡管這有點想入非非，卻把10分成兩個乘起來等于40的事辦成了；這樣，有人起了頭，負數的平方根—卡爾丹給它起了個非凡的名字叫“虛數（imaginary number）”—被頻繁地被科學家們所使用，雖則總是伴有很大保留，并且要提出種種借口。在著名瑞士科學家歐拉（Euler，數神，曾聽過高斯講課）1770年發表的代數著作中，有許多地方用到了虛數。然而，對這種數，他又加上了這樣一個掣（che四聲）肘的評語：“一切形如square(-1)和square(-5)的數學式，都是不可能有的、想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對于這類數，我們隻能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼。它們純屬虛幻。”但是，盡管有這些非難和遁詞，虛數還是迅速成為分數的根式中無法避免的東西。沒有它們，簡直可以說寸步難行。不妨說，虛數構成了實數在鏡子裡的幻想。而且正像我們從基數1可得到所有實數一樣，我們可以把square(-1)作為虛數的基數，從而得到所有的虛數。通常寫作i（imaginary number）。

虛數闖進數學的領域之後，足足有兩個世紀的時間，一直披着一張神秘的、不可思議的面紗。直到兩個業餘數學家給虛數作出了簡單的幾何解釋以後，這張面紗才被揭去。這兩個人是：測繪員威塞爾（Wessel），挪威人；會計師阿爾剛（RobertArgand），法國巴黎人。

依靠（-1）的平方根這個虛數，人們還找到了另一個寶藏，這就是發現普通的三維時間可以和時間結合，從而形成遵從思維幾何學規律的思維空間。