首先，談談為什麼數學要引入坐标系？

坐标的本質是為了方便地定位，數學中的坐标也不例外。作為數學的重要概念，坐标系是用代數方法研究幾何問題最有力的工具。通過将幾何元素（點、線、面、體）用坐标表示出來，應用代數化的方程、運算等達成度量幾何體、處理幾何問題的目标。例如，

把一個三角形置于坐标系中，确定三角形的三個頂點坐标後，可以應用兩點距離公式方便地計算邊長、面積等。

在平面直角坐标系中，y=kx b表示直線，x² y²=r²表示圓，通過計算原點到直線的距離，并與圓半徑r比較，可以方便地判斷直線與圓的位置關系。等等。

其次，說說高等數學中常用哪些坐标系？

一維空間中就是數軸，是一條有向直線，有原點，并确定了單位長度。二維空間中是平面直角坐标系，是由在原點處相交且相互垂直的2個數軸(坐标軸)構成。三維空間中是空間直角坐标系，是由在原點處相交且兩兩相互垂直的3個數軸(坐标軸)構成。

(1)直角坐标系中點坐标的确定

設平面直角坐标系中，坐标原點為O。則

平面上任意一點M←→有序數對(x,y)←→平面向量OM

即三者是一一對應的，因此彼此不分家。就像一個班級裡學生與其姓名、學号是一一對應的，這樣，老師找某學生時，可以說他姓名，也可以說他學号都不會混淆。因此，我們通常表示為點M(x,y)，或者向量OM=(x,y)。

在平面直角坐标系中，點M或向量OM的坐标(x,y)是這樣确定的，過M點作x軸的垂線且與x軸交點(即點M在x軸上的投影)在x軸(數軸)上的坐标x即為平面點M的橫坐标，過M點作y軸的垂線且與y軸交點在y軸(數軸)上的坐标y即為平面點M的縱坐标。例如

同理，在空間直角坐标系中，點的坐标是三維有序數組構成，如點A(1,2,1.5)

(2)直角坐标系的優點

在平面直角坐标系中，垂直于x軸、y軸的直線可以分别表示為x=a，y=b。要表示一個圓心在原點的圓就要用稍微複雜一點的方程x² y²=r²。其中a, b, r都為常數。

在空間直角坐标系中，垂直于x軸、y軸、z軸的平面可以分别表示為x=a，y=b，z=c。而一個球心在原點的球面方程為x² y² z²=r²。其中a, b, c, r都是常數。

在平面上，表示點的有序數對可以與直角坐标系的坐标不同。

極坐标系的建立：①在平面内取一個定點O，叫做極點；②從極點O點引一條射線Ox，叫做極軸；③再選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向)。

(1)極坐标系中點坐标的确定

對于平面上的點M，用ρ表示線段OM的長度，用θ表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對(ρ, θ)就是點M的極坐标。一般地ρ≥0，θ可取任意實數，特别規定極點坐标為(0, θ)。有的教材對ρ的取值也不加限制，可以取任意實數。

可以看出，極坐标系中，點和有序數對不再是一一對應關系。任意一個點都可以有無窮個坐标，即對于固定的ρ≥0和θ，(ρ, 2kπ θ)都表示同一個點，其中k為整數。有時為了保持點與坐标的一一對應關系，可限制ρ≥0，0≤θ<2π(或-π<θ≤π)，這樣除極點O外，其他點都與有序數對一一對應了。

對于初學者來說，覺得點和坐标不一一對應可能會引起混亂，但事實上，點與有序數對即坐标不一一對應并不能說明極坐标系不是好的坐标系，有時不一一對應反而很方便。例如，阿基米德螺線極坐标方程為ρ=aθ，其中a為正常數，θ>0。

如果要在ρ≥0，0≤θ<2π(或-π<θ≤π)下，則螺線的方程相對複雜。

(2)極坐标與直角坐标的相互轉化

平面上任一點M，在直角坐标系和極坐标系中的坐标表示是不同的。為考察兩種坐标之間的關系，将兩種坐标系都畫出來，并使直角坐标系原點和極坐标系極點重合，直角坐标系的x軸和極坐标系的極軸重合。

這樣做是有道理的，因為直角坐标系中原點可以看作是基點，其他點的坐标都是以原點為基準的相對位置确定的。同樣極坐标系是以極點和極軸為基準來确定其他點的坐标的。

不難看出

因此很容易地可以将直角坐标方程f(x, y)=0化為極坐标方程f(ρ cos θ, ρ sin θ)=0。

反過來，要從x =ρ cos θ, y =ρ sin θ求出ρ和θ，相當于求反函數，我們知道這種操作通常要在兩種坐标間建立一一對應關系，否則反函數是多值函數。不妨限制ρ≥0，0≤θ<2π，極點唯一坐标為O(0,0)。這時有

(3)極坐标系的優點

在極坐标系中，要表示平面上一個以極點為圓心的圓和過極點的射線很簡單，ρ=r就是圓，θ=α就是射線，其中r>0和0≤α<2π都是常數。可以看出，直角坐标表示直線和平面很方便，而極坐标表示圓卻很方便。

在空間直角坐标系中，xoy平面上以極坐标替換直角坐标，而第三維度(即z軸)仍然采用直角坐标，這樣形成的坐标系就是柱坐标系。柱坐标系中點的坐标形如M(ρ,θ,z)，其中z的意義與空間直角坐标系中相同，ρ,θ的意義與平面極坐标系中相相似。由于是三維空間，因此

z=c仍表示垂直于z軸的平面；

ρ=r表示母線平行于z軸的圓柱面；

θ=α表示過z軸的半平面；

當然，在xoz平面使用極坐标，y軸保持直角坐标也是可以的。

柱形幾何體用柱坐标系是很有優勢的。

設O為空間直角坐标系原點，M為空間任一點。ρ表示線段OM的長度，φ表示OM與z軸正向的夾角，M在xoy平面上的投影為M₀，θ表示線段OM₀與x軸正向的夾角，且從z軸正向看逆時針方向為θ正方向，則M點的坐标可以表示為M(ρ,φ,θ)。

這就是球坐标系，在球坐标系中，點的坐标也不唯一。在實際應用中，根據實際情況常規定

ρ≥0，0≤φ<π，0≤θ<2π(或-π/2<θ≤π/2)

可以看出，點的直角坐标和球坐标之間關系為

上式中，ρ,θ,φ關于x,y,z的三個表達式隻是點位于第一卦限的情況，若點在其他卦限還應做出相應調整。

球面x² y² z²=r²的球坐标方程為ρ=r，可以看出球坐标系對處理球形幾何體具有極大優勢，也是其稱為球坐标的原因。

柱坐标和球坐标在高等數學中的最主要應用是三重積分的計算。對于圓柱形和球形幾何體上的三重積分，應用柱坐标和球坐标可以大大地簡化計算。