如圖，已知△ABC中BC邊的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，EF⊥AB交AB的延長線于點F,EG⊥AC交AC于點G.

求證：（1）BF=CG

(2) AF=(1/2)(AB AC)

原題圖

分析：本題主要考察的線段垂直平分線和角平分線，那麼我們就要知道線段垂直平分線和角平分線的基本圖形。一節焦平分線和線段垂直平分線的基本原理。交平分線上的點到角兩邊的距離相等。線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。把這些基本的知識都掌握了以後，我們再看本道題。

第1問。要證明的是BF=CG。那麼我們就要看有沒有與bf和CD相關的三角形是全等的。通過前面我們對基本知識的分析。不難發現三角形BEF和三角形CEG是全等的。因為這兩個三角形都是直角三角形。而且在我們前面分析的過程中，知道對應的斜邊和一條直角邊是相等的。現在我們就可以利用斜邊和直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。從而就可以得到BF=CG。現在我們共同來看一下證明過程的書寫。

第一問

第2問就有一定的難度了。首先我們可以發現，AFEG這個四邊形是正方形.通過前面的分析。我們能看到三個直角。根據四邊形的内角和是360度，所以我們可以判斷第4個角也是直角。而且有一組鄰邊相等。這樣的話他就是一個正方形。那麼AF正好就是四邊形的一條邊。通過第1問的證明，我們知道BF正好等于CG。所以我們不難發現ab AC。正好就是正方形的兩條邊。所以第2問的證明也就很容易可以完成。隻不過是正方形的有關性質，我們并沒有學到。雖然我們對正方形這個圖形很熟悉。但是他的有關性質我們并不了解，所以在這裡我們不選擇利用正方形來解決這個問題。要解決問題，我們還是從我們熟悉的知識來入手吧。我們看等号的右邊AB AC。可以寫成AB加AG再加CG。因為這裡的CG=BF。所以我們又可以把AB AG CG寫成。AB AG BF。因為AB BF=AF。這樣我們就可以把AB加AC寫成AG AF。

這裡的AG和AF分别是直角三角形AGE和直角三角形AFE的兩條直角邊。這裡我們很容易就可以證明這兩個直角三角形是全等的。從而就可以說明AG=AF。那麼前面的AG加AF就可以寫成二倍的AF。再和前面的1/2相乘，就可以得到AF。這樣我們就可以完成第2問的證明。

第二問

我相信注意聽，認真聽講的同學都能聽懂。但是大多數同學自己遇到這樣的題目就不會做。主要原因就是這樣的題目，大家當時看懂了也聽懂了。唯一的原因就是懶惰所導緻的，遇到相似的題不會做。有興趣的同學可以看原題自己來完成整個題目的解答過程。