根據銀行的規定小額的欠款在持卡人死亡之後，會終止你的賬戶。小額欠款一般情況下銀行不再追究，在欠款金額較大（不同銀行以及其申辦行對這個金額的判斷都不相同），銀行選擇追究的情況下：
1、債務人死亡的情況下，銀行可以起訴債務人的法定繼承人和擔保人（如果有擔保人的情況下）。
2、債務人的法定繼承人在遺産繼承的份額範圍内承擔償還責任，擔保人在擔保的範圍内承擔償還責任。
3、如果債務的金額超出了遺産的價值，繼承人沒有義務償還，但如果願意償還的話，法院也會支持。
4、法律依據：《繼承法》第三十三條【繼承遺産與清償債務】繼承遺産應當清償被繼承人依法應當繳納的稅款和債務，繳納稅款和清償債務以他的遺産實際價值為限。超過遺産實際價值部分，繼承人自願償還的不在此限。繼承人放棄繼承的，對被繼承人依法應當繳納的稅款和債務可以不負償還責任。
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