誰會認為上帝是一篇關于數學的文章的合适話題？别擔心，以下讨論仍然牢固地植根于一個可理解的科學框架中。但上帝能否在數學上得到證明的問題是有趣的。事實上，幾個世紀以來，幾位數學家一再試圖證明一個神聖的存在。它們的範圍從布萊斯·帕斯卡爾和勒内·笛卡爾（17世紀）到戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（18世紀）到庫爾特·哥德爾（20世紀），他關于這個主題的著作最近于1987年出版。可能是最令人驚訝的事情：在2013年首次發布的一項預印本研究中，一位算法證明向導檢查了哥德爾的邏輯推理鍊，并發現它無疑是正确的。數學現在終于反駁了所有無神論者的說法了嗎？

正如你可能已經懷疑的那樣，它還沒有。哥德爾确實能夠證明，他定義為神聖的東西的存在必然源于某些假設。但這些假設是否合理可能會受到質疑。例如，如果我假設所有的貓都是三色的，并且知道三色貓幾乎總是雌性的，那麼我可以得出結論：幾乎所有的貓都是雌性的。即使邏輯推理是正确的，這當然也站不住腳。因為所有貓都是三色動物的假設是錯誤的。如果一個人對我們環境中可觀察到的東西發表聲明，例如貓，你可以通過科學調查來驗證它們。但如果是關于神聖存在的證明，事情就會變得更加複雜。

雖然萊布尼茨、笛卡爾和哥德爾依靠上帝的本體論證據，他們僅僅通過邏輯推斷從神的存在，而帕斯卡（1623-162）選擇了一種略有不同的方法：他從今天可能被視為博弈論的角度分析了這個問題，并發展了所謂的帕斯卡賭注。

為了做到這一點，他考慮了兩種可能性。首先，上帝存在。其次，上帝并不存在。然後，他研究了死後相信或不相信上帝的後果。如果有一個神聖的存在，并且一個人相信它，他最終會進入天堂；否則他就會下地獄。另一方面，如果沒有上帝，其他任何事情都不會發生——無論你是否信教。帕斯卡認為，最好的策略是相信上帝。充其量，你最終會進入天堂；在最糟糕的情況下，什麼都沒發生。另一方面，如果你不相信，那麼在最壞的情況下，你最終可能會下地獄。

帕斯卡的想法是可以理解的——但它們指的是宗教著作中的場景，并不代表優越存在的證據。他們隻說，一個人應該加入基于機會主義的信仰。

處理存在本質的本體論方法更有說服力，即使它們很可能不會改變無神論者的想法。神學家兼哲學家坎特伯雷的Anselm（1033年至1109年）在上個千年初提出了他的想法。他把上帝描述為一個存在，除此之外，沒有什麼比這更偉大的了。但如果上帝不存在，那麼人們可以想象更偉大的東西：即一個無法想象到更偉大的存在。但像上帝一樣，這個存在并表現出終極偉大的屬性。當然，這是荒謬的：沒有什麼比一個人能想象到的最偉大的事情更偉大了。因此，認為上帝不存在的假設一定是錯誤的。

花了幾個世紀才重新審視這個想法——正是笛卡爾（1396年至1650年）。據推測，他不知道Anselm的著作，他為一個完美存在的神聖存在提供了幾乎相同的論點。幾十年後，萊布尼茨（1646年至1716年）開始這項工作，并發現它有缺陷：他認為，笛卡爾沒有證明某些實體的“完美屬性”，從三角形到上帝，是兼容的。萊布尼茨繼續辯稱，完美無法得到适當的調查。因此，永遠不能否認完美屬性結合在一個存在中。因此，神聖存在的可能性必須是真實的。因此，根據安塞爾姆和笛卡爾的論點，必然意味着上帝存在。

然而，從數學角度來看，隻有通過哥德爾的努力，這些思想實驗才變得非常嚴肅。這并不奇怪：這位科學家在25歲時就已經扭轉了這個問題，表明數學總是包含無法證明的真實陳述。在這樣做時，他利用了邏輯。同樣的邏輯也使他能夠證明上帝的存在。看看這12個步驟，由一組公理（Ax）、定理（Th）和定義（Df）組成。

Kurt Gödel的正式證據。來源：Spektrum der Wissenschaft

乍一看，它們看起來很神秘，但人們可以一步一步地經曆它們，以遵循哥德爾的想法。他從公理開始——換句話說，一個假設：如果φ具有性質P，并且φ總是跟随ψ，那麼ψ也具有性質P。為了簡單起見，我們可以假設P代表“積極”。例如：如果水果是美味的，是一種積極的屬性，那麼吃起來也很有趣。因此，吃它的樂趣也是一種積極的屬性。

第二個公理進一步為P建立了一個框架。如果某物的對立面是積極的，那麼“某物”一定是消極的。因此，哥德爾将一個世界分為黑白：要麼是好事，要麼是壞事。例如，如果健康是好的，那麼疾病必然是壞的。

有了這兩個前提，哥德爾可以推導出他的第一個定理：如果φ是正性質，那麼具有性質φ的x有可能存在。也就是說，積極的東西是有可能存在的。

現在，數學家第一次轉向神聖存在的定義：如果x具有所有正屬性φ，它就是神聖的。第二個公理确保以這種方式定義的上帝不能具有負面特征（否則會産生矛盾）。

第三公理指出，神性是一個積極的特征。這一點并不能真正有争議的，因為神性結合了所有積極的特征。

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第二個定理現在變得更加具體：通過将第三個公理（神性是正數）和第一個定理（存在積極的東西）結合起來，一個存在一個神聖的存在x。

哥德爾現在的目标是在以下步驟中表明，上帝必須存在于已經制定的框架中。為此，他在第二個定義中引入了對象x的“本質”φ，這是一個決定所有其他特征的特征屬性。一個說明性的例子是“小狗一樣，如果某物具有這種屬性，它必然是可愛、蓬松和笨拙的。

第四個公理起初似乎不太令人興奮。它隻是指出，如果某件事是積極的，那麼無論時間、情況或地點，它總是積極的。例如，無論是在德國海德堡、德國還是布宜諾斯艾利斯，白天還是晚上，像小狗一樣品嘗和味道都很好總是積極的。

哥德爾現在可以提出第三個定理：如果存在x是神聖的，那麼神性就是其本質屬性。這是有道理的，因為如果某物是神聖的，它具有所有積極的特征——因此x的性質是固定的。

下一步涉及特定存在。如果在某個地方至少有一個人是y擁有屬性φ，這是x的基本屬性，那麼x也存在。也就是說，如果任何東西像小狗一樣，那麼小狗也必須存在。

根據第五公理，存在是一個正屬性。我想大多數人都會同意這一點。

從這一點中可以得出結論，上帝的存在是因為這個存在擁有一切積極的屬性，而存在是積極的。

事實證明，哥德爾的邏輯推斷都是正确的——甚至計算機也能夠證明這一點。然而，這些推論也引起了批評。除了公理（當然可以質疑）（為什麼一個世界應該被分為“好”和“邪惡”？）外，哥德爾沒有提供更多關于什麼是積極屬性的細節。

誠然，通過定義和公理，人們可以用數學方式描述集合P：

1. 如果屬性屬于集合，則不包括其否定。該集合是自包含的。
2. 集合的本質隻有集合的特征這一事實本身就是集合的一個元素。該集合始終具有相同的元素——與情況無關。在這種情況下，情況是包含該集合的數學模型。
3. 存在是集合的一部分。
4. 如果φ是集合的一部分，那麼以φ作為集合本質的性質也包含在集合中。

但所有這些都不能确保這套是獨一無二的。可能有多個集合可以滿足要求。例如，正如邏輯學家所表明的那樣，可以構建根據哥德爾的定義，有700多個神聖實體在本質上有所不同的情況。

這并不能解決一個（或多個）神聖存在的最後問題。數學是否真的是回答這個問題的正确方式本身也是值得懷疑的——即使思考它非常令人興奮。