首页
/
每日頭條
/
知識
/
官方雙語微積分的本質
官方雙語微積分的本質
更新时间:2025-04-04 10:07:24

  1、兩種重要的、針對函數的運算:求導與積分。它們的運算結果也是一個函數。先說求導。對于函數 f(x) ,它的導函數 (即求導運算的結果,簡稱導數)記作 f′(x) 。簡單來說,f′(x0) 就是f(x) 在 x0 這點的切線斜率。即, f′(x) 是 f(x) 的切線斜率關于切點橫坐标的函數。

  為了方便描述,引入一個表示「微小變化量」(自己起的名字)的符号。以後默認用 dx 表示變量 x 的變化量( dy 表示變量 y 的變化量,以此類推),且 dx 趨近于 0 。那麼對于 x0 和它的函數值 f(x)=y ,設當 x 增加了 dx 時 y 增加了 dy 。由于這個變化量是「微小」(趨近于 0 )的,所以 x 和 x+dx 之間的函數圖象可以近似成一條直線,它的斜率就是 dydx 。因此,有時也把導函數寫成 f′(x)=dydx 。

  注意,不同的 x 會造成 dy 取不同的值。有點懵?先從最簡單的例子,一次函數說起。顯然,無論 x 如何改變,也無論 dx 取何值(哪怕不趨近于 0 ) ,dydx 都是一個定值,即這個一次函數的斜率 k (換句話說,這個一次函數處處的切線都與它本身重合)。因此,一次函數的導數是一個常函數 f′(x)=k 。

  再舉一個稍複雜的例子。對于 f(x)=x2 ,可以這樣求出它的導函數:f′(x)=dydx=f(x+dx)?f(x)dx=(x+dx)2?x2dx=2dx?x+dx2dx=2x+dx由于 dx 趨近于 0 ,所以 f′(x)=2x 。于是我們成功算出了 f(x)=x2 的導數是 f′(x)=2x 。不妨再拓展一下,證明 f(x)=xk 的導數是 f′(x)=kxk?1 。做法和剛才類似(其中用了一次二項式定理):f′(x0)=f(x0+dx)?f(x0)dx=(x0+dx)k?xk0dx=∑ki=0Cikxi0dxk?i?xk0dx=∑k?1i=0Cikxi0dxk?idx=∑i=0k?1Cikxi0dxk?i?1。

  到這裡似乎不知道怎麼辦了?别忘了 dx 趨近于 0 ,所以隻有 k?i?1=0 即 i=k?1 這一項是非 0 的!激動.jpg 。所以,f′(x0)=kxk?10 。x0 是任意的,所以 f′(x)=kxk?1 。

  2、導數的加減:h(x)=f(x)+g(x),h′(x)=f′(x)+g′(x)。設 yf=f(x) ,yg=g(x) ,yh=h(x) (類似的記号下面不再贅述) ,同時别忘了 f′(x)=dyfdx , g′(x)=dygdx ,則有:∵yh=yf+yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)+(yg+dyg)∴dyh=dyf+dyg=f′(x)dx+g′(x)dx=(f′(x)+g′(x))dx兩邊同時除以 dx ,得到 h′(x)=dyhdx=f′(x)+g′(x) 。

  3、導數的乘法:h(x)=f(x)g(x),h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)口訣:「左乘右導,右乘左導」證明如下:∵yh=yf?yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)?(yg+dyg)∴dyh=yf?yg+yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg?yh=yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg=f(x)?g′(x)dx+g(x)?f′(x)dx+f′(x)dx?g′(x)dx兩邊同時除以 dx 得:h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)+f′(x)g′(x)dx同樣,帶 dx 的項趨近于 0 ,因此 h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x) 。

  4、鍊式法則:若 h(x)=f(g(x)) ,則 h′(x)=f′(g(x))?g′(x) 。當自變量從 x0 變成 x0+dx ,則 yf 的變化量是 f′(x0)dx 。現在,g 的自變量的變化量是 dx ,yg 的變化量是 g′(x)dx ,所以 yf 的變化量是 f′(g(x))?g′(x)dx (注意 f 的自變量的初值是 g(x) 不是 x )。因此 h′(x)=f′(g(x))?g′(x) 。

  5、導數的除法:若 h(x)=f(x)g(x) ,則 h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。

  6、證明:∵yh=yfyg,(yh+dyh)=yf+dyfyg+dyg∴dyh=yf+dyfyg+dyg?yfyg=yg(yf+dyf)?yf(yg+dyg)yg(yg+dyg)=g(x)f(x)+g(x)f′(x)dx?f(x)g(x)?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx=g(x)f′(x)dx?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx。兩邊同時除以 x ,得到:h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2+g(x)g′(x)dx,由于 dx 趨于 0 ,所以:h′(x)=g(x、f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2。

Comments
Welcome to tft每日頭條 comments! Please keep conversations courteous and on-topic. To fosterproductive and respectful conversations, you may see comments from our Community Managers.
Sign up to post
Sort by
Show More Comments
推荐阅读
小米手機自帶的浏覽器緩存視頻文件在哪?
小米手機自帶的浏覽器緩存視頻文件在哪?
小米手機自帶的浏覽器緩存視頻文件在哪?首先要在開手機上面找到并打開浏覽器,然後在點擊菜單,找到“我的視頻”即可了,我來為大家科普一下關于小米手機自帶的浏覽器緩存視頻文件在哪?以下内容希望對你有幫助!小米手機自帶的浏覽器緩存視頻文件在哪首先要...
2025-04-04
打王者時發的句子
打王者時發的句子
打王者時發的句子?今天打了六把排位,輸了五把,把所有的防掉卡和積分都用完了還掉了一顆星星鉑金就是我一生的宿命嗎?,下面我們就來說一說關于打王者時發的句子?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!打王者時發的句子今天打了六把排位,輸了五把,把所有...
2025-04-04
人生哲理的經典說說
人生哲理的經典說說
人生哲理的經典說說?你要堕落,神仙也救不了;你要成長,絕處也能逢生,今天小編就來聊一聊關于人生哲理的經典說說?接下來我們就一起去研究一下吧!人生哲理的經典說說你要堕落,神仙也救不了;你要成長,絕處也能逢生。“細節打敗愛情。我除了我愛你比你愛...
2025-04-04
損可以組什麼詞
損可以組什麼詞
損可以組什麼詞?“損”組詞:破損、貨損、毀損、無損、海損、損毀、損耗、無形損耗、陰損、損人害己、損兵折将、虧損、損人利己、損人、勞損、損害、耗損、有形損耗、減損、損壞、損绌、摭華損實、潑損、痿損、失損、敗損、損服、腰骨損斷、裁損、蝕損、痊損...
2025-04-04
蘋果後攝像頭拍出來的照片是反的
蘋果後攝像頭拍出來的照片是反的
蘋果後攝像頭拍出來的照片是反的?手機照相機有前攝像頭和後攝像頭倆種,如果是後攝像頭拍照拍出來的照片是相反的,應該是手機問題,可以拿到手機店去進行檢修,下面我們就來說一說關于蘋果後攝像頭拍出來的照片是反的?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!...
2025-04-04
Copyright 2023-2025 - www.tftnews.com All Rights Reserved