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高三數學參數方程知識點總結
高三數學參數方程知識點總結
更新时间:2025-04-04 20:00:10

高三數學參數方程知識點總結?符合一定條件的動點所形成的圖形,或者說,符合一定條件的點的全體所組成的集合,叫做滿足該條件的點的軌迹.,下面我們就來聊聊關于高三數學參數方程知識點總結?接下來我們就一起去了解一下吧!

高三數學參數方程知識點總結(高考數學知識點)1

高三數學參數方程知識點總結

符合一定條件的動點所形成的圖形,或者說,符合一定條件的點的全體所組成的集合,叫做滿足該條件的點的軌迹.

軌迹,包含兩個方面的問題:凡在軌迹上的點都符合給定的條件,這叫做軌迹的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌迹上的點都不符合給定的條件,也就是符合給定條件的點必在軌迹上,這叫做軌迹的完備性(也叫做充分性).

【軌迹方程】就是與幾何軌迹對應的代數描述。

一、求動點的軌迹方程的基本步驟

⒈建立适當的坐标系,設出動點M的坐标;

⒉寫出點M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化簡方程為最簡形式;

⒌檢驗。

二、求動點的軌迹方程的常用方法:求軌迹方程的方法有多種,常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數法和交軌法等。

⒈直譯法:直接将條件翻譯成等式,整理化簡後即得動點的軌迹方程,這種求軌迹方程的方法通常叫做直譯法。

⒉定義法:如果能夠确定動點的軌迹滿足某種已知曲線的定義,則可利用曲線的定義寫出方程,這種求軌迹方程的方法叫做定義法。

⒊相關點法:用動點Q的坐标x,y表示相關點P的坐标x0、y0,然後代入點P的坐标(x0,y0)所滿足的曲線方程,整理化簡便得到動點Q軌迹方程,這種求軌迹方程的方法叫做相關點法。

⒋參數法:當動點坐标x、y之間的直接關系難以找到時,往往先尋找x、y與某一變數t的關系,得再消去參變數t,得到方程,即為動點的軌迹方程,這種求軌迹方程的方法叫做參數法。

⒌交軌法:将兩動曲線方程中的參數消去,得到不含參數的方程,即為兩動曲線交點的軌迹方程,這種求軌迹方程的方法叫做交軌法。

*直譯法:求動點軌迹方程的一般步驟

①建系——建立适當的坐标系;

②設點——設軌迹上的任一點P(x,y);

③列式——列出動點p所滿足的關系式;

④代換——依條件的特點,選用距離公式、斜率公式等将其轉化為關于X,Y的方程式,并化簡;

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌迹方程。

典型例題

例1、已知Q點是雙曲線上異于二頂點的一動點,F1、F2是雙曲線的左、右焦點,從F2點向∠F1QF2的平分線作垂線F2P,垂足為P點,求P點的軌迹方程.

分析:注意圖形的幾何性質,聯想到雙曲線的定義,可考慮用定義法求軌迹方程.

解答:如圖,連結OP,則由角平分線的性質,

得|AQ|=|F2Q|.

由三角形中位線性質,得.

.

(若點Q在雙曲線的左支上時,應為).

即.∴P點軌迹方程即為.

例2、設動圓C的對稱軸平行于坐标軸,長軸長為4,且以y軸為左準線,左頂點A在抛物線y2=x-1上移動,求這些橢圓的中心C的軌迹方程.

分析:A點和C點是一對相關點,設法将A點的坐标用C點坐标表達,用相關點法求C的軌迹方程.

解答:設中心C的坐标(x,y),則A的坐标為(x-2,y),又A在抛物線y2=x-1上移動.

∴y2=(x-2)-1,即y2=x-3,此即所求C的軌迹方程.

另外,問題也可用參數法求解.

∵左頂點A在抛物線y2=x-1上移動,

∴設A(t2 1,t)(t為參數).

∵y=yA=t,①

∵2a=4,∴a=2,∴x=xA 2=t2 3. ②

由①、②消去參數t,得中心C的軌迹方程是y2=x-3.

例3、如圖,P是抛物線C:上一點,直線l過點P且與抛物線C交于另一點Q.若直線l與過點P的切線垂直,求線段PQ中點M的軌迹方程.

分析:這是2004年全國高考題(福建卷)理科的壓軸題,依題意直線l的方程可用P的橫坐标表達,于是選擇以P的橫坐标為參數,用參數法求解動點M的軌迹方程.

解答:設P(x1,y1),M(x0,y0),其中x1≠0.

由,①

由,∴過點P的切線的斜率k切=x1,

∴直線l的斜率,

直線l的方程為 ②

聯立①②消去y,得.

∵M為PQ的中點,∴

消去x1,得.

∴PQ中點M的軌迹方程為.

另外,此題屬"中點弦"的問題,可考慮用"點差法"來處理.探求x0與x1的關系.

設P2(x2,y2),于是由.

得,

則,

将上式代入②并整理,得.

∴PQ中點M的軌迹方程為.

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