導數是高等數學裡的一個非常重要知識，通過導數的幾何意義可以去求函數的切線或者法線方程，通過導數開可以求出函數的極限，也可以通過導數去判斷函數的單調性，以及通過導數延伸出來的微積分可以去求函數的面積、體積及長度的内容，所以掌握導數和求函數的導數就是高等數學的重要且是基本的知識了。

· 基本函數的導數：

所謂基本函數，也就是通常所說的初等函數，例如常數函數y=c，一次函數y=kx b，二次函數y=ax^2 bx c,幂函數y=x^a,指數函數y=a^x,對數函數y=loga x，自然對數函數y=lnx，三角函數，反三角函數等，這些函數的導數是需要記住的。具體公式如下：

y=c y'=0 y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x

y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos^2x

y=cotx y'=-1/sin^2x y=arcsinx y'=1/√1-x^2 y=arccosx y'=-1/√1-x^2

y=arctanx y'=1/1 x^2 y=arccotx y'=-1/1 x^2

· 導數的運算法則：

導數的運算法則，就是指導數的加、減、乘、除的四則運算法則，這也是需要掌握的重要内容，公式如下：

①（u±v)=u'v±vu'

②uv=u'v uv'

③u/v=(u'v-uv')/v^2

這裡邊的u.v一般是代表的兩個不同的函數，不會同時為常數。這三個運算法則中，特别要記住的是兩個函數商的導數求法，分子中出現的是減号，這個地方容易出錯。對于上面提到的二次函數，符合函數和差的運算法則，所以y'=(ax^2)' (bx)' c'=2ax b 0=2ax b.

· 初等函數四則運算的求導：

初等函數的四則運算，就是上述提到基本函數，其求導，通常要用到上述求導的運算法則，它可以單獨使用其中的一個運算法則，也可以是多個運算法則同時使用，下面舉幾個例子。

（1）y=sinx 5x-cosx,這個是函數的和差運算，求導法則僅使用①，所以：

y'=(sinx)' (5x)'-(cosx)'=cosx 5-(-sinx)=cosx sinx 5.

(2)y=(5sinx)*(3cosx),這個是函數的乘積運算，求導法則僅使用②，所以：

y'=(5sinx)'(3cosx) (5sinx)(3cosx)'

=(5cosx)(3cosx) (5sinx)(-3sinx)

=15(cos^2x-sin^2x)

=15cos2x.

(3)y=sinx/cosx,這個是函數的商的運算，求導法則僅使用③，所以：

y'=[（sinx)'cosx-(sinx)(cosx)']/(cosx)^2

=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)^2

=1/(cosx)^2

=sec^2x,實際上y=sinx/cosx=tanx，其導數是通過這個法則求出來的。

（4）y=（sinx-5x x^2cosx)/x,這個函數的求導，上述三個運算法則都要使用到，所以：

y'=[(sinx-5x x^2cosx)'x-(sinx-5x x^2cosx)x']/x^2

={[(sinx)'-(5x)' (x^2cosx)']x-(sinx-5x x^2cosx)}/x^2

={[cosx-5 (x^2)'cosx (x^2)(cosx)']x-sinx 5x-x^2cosx}/x^2

={[cosx-5 2xcosx-x^2sinx]x-sinx 5x-x^2cosx}/x^2

=(xcosx-5x 2x^2cosx-x^3sinx-sinx 5x-x^2cosx)/x^2

=(xcosx x^2cosx-x^3sinx-sinx)/x^2.

· 複合函數的求導法則：

複合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u)，u=g(x)即y=f（g（x））的導數間的關系為

y' =f'（g（x））*g'（x）即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.舉例如下：

（1）y=(2x 1)^5,

y'=5(2x 1)^4*(2x 1)'=5(2x 1)^4*2=10(2x 1)^4.

(2) y=sin(x^2 2x).

y'=cos(x^2 2x)*(x^2 2x)'=cos(x^2 2x)*(2x 2)=2(x 1)cos(x^2 2x).

(3)y=(3x)^x,因為它既不是指數函數，也不是幂函數，所以求導之前要變型，得到：

lny=xln3x,兩邊求導得到：

y'/y=ln3x x(ln3x)'

y'/y=ln3x x*3/3x=ln3x 1

所以y'=(3x)^x(1 ln3x).

· 積分函數的求導：

對有積分上下限函數的求導有以下公式:

[∫(a,c)f(x)dx]'=0，a，c為常數。解釋：對于積分上下限為常數的積分函數，其導數=0.

[∫(g(x),c)f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x),a為常數，g(x)為積分上限函數，解釋：積分上限為函數的求導公式=被積函數以積分上限為自變量的函數值乘以積分上限的導數。

[∫(g(x),p(x))f(x)dx]'=f(g(x))*g'(x)-f(p(x))*p'(x),a為常數，g(x)為積分上限函數，p(x)為積分下限函數。解釋：積分上下限為函數的求導公式=被積函數以積分上限為自變量的函數值乘以積分上限的導數-被積函數以積分下限為自變量的函數值乘以積分下限的導數。

舉例子：

(1)[∫(x^2,1)(2x 5)dx]'

=(2x^2 5)*(x^2)'

=(2x^2 5)*2x

=4x^3 10x

(2)[∫(2x^2-1.x)sinxdx]'

=sin(2x^2-1)*(2x^2-1)'-sinx*(x)'

=4xsin(2x^2-1)-sinx.

· 導數的應用之一：判斷函數的單調性：

通過對函數進行求導，得到函數的駐點，再研究導數的正負，得到原函數的單調增區間或者減區間。即使導數＞0的自變量取值的區間是其單調增區間，使其導數＜0的自變量取值區間是其單調減區間。例如：

求函數：y=2x^2-4x 3的單調區間。

分析：對于這個函數，因為是二次函數，即為抛物線，我們知道，其開口向上，對稱軸x=1，所以當x＞1，函數單調遞增，則x＜1單調遞減。

此題還可以通過導數來求，通過函數和差公式，求導得到：

解：y’=4x-4.

另y’=0,所以4x=4，即x=1.

當x＞1的時候，y’＞0，此時函數單調遞增，則區間（1， ∞）為函數的單調增區間。同理：

當x＜1的時候，y’＜0，此時函數單調遞減，則區間(-∞，1)為函數的單調遞減區間。

· 導數的應用之二：求函數的極限：

通過導數，在符合羅必塔法則的前提下，可以求出函數的極限,注意的是，同一道題目，隻要符合羅必塔的法則，是可以多次使用的。其公式如下：

舉例如下：

求lim(x→1)（x^3-3x 2）/(x^3-x^2-x 1)的極限。

解：當x→0，分子分母都趨近于0，符合羅必塔0/0法則，所以求積分就是分子分母分别求導（注意不是函數商的求導法則），得到：

原極限=Lim（x→1）（3x^2-3）/(3x^2-2x-1)，此時分子分母繼續符合0/0型，繼續使用羅必塔法則：

極限=lim（x→1）（6x）/(6x-2) 此時不再符合羅比達法則，直接帶入極限條件，得到：

極限=6/4=3/2.

· 導數的物理意義：

在物理中，物理量位移為s，速度為v，時間為t，加速度為a，則之間存在如下關系：位移s對時間t的導數為速度，即：v=ds/dt.

速度v對時間t的導數，為加速度，即：a=dv/dt.也可以理解為s對時間的二次導數就是加速度，即：a=d^2s/dt^2.