42，一點都不乏味

好吧，這早已不是秘密了。

我在前言裡曾說過，這個數在道格拉斯·亞當斯的《銀河系搭車客指南》裡很重要，它是“關于生命、宇宙以及一切之終極問題”的答案。這 一發現馬上産生了一個新問題：什麼才是真正的關于生命、宇宙和所有一切之終極問題？亞當斯說，他選擇這個數是因為，他快速地問了一圈朋友們，大家都認為42是最乏味的。

在此，我想保護42不受這樣的诽謗。就數學意義而言42，毫無疑問無法和4、pi、甚至是17相提并論。然而，它也并不是完全無趣的。

42是普洛尼克數、卡塔蘭數，也是最小的魔方幻方常數。當然，它還有一些其他特點。

▌普洛尼克數

所謂普洛尼克數（也叫長方形數、矩形數或 heteromecic 數）是指兩個連續整數的積，因此它的形式是n(n 1)。當n=6時，我們可以得到6x7=42。由于第n個三角形數是

所以普洛尼克數是三角形數的2倍。它還是前n個偶數之和。數量是普洛尼克數的點可以排列成一個矩形，這種矩形的一條邊比另一條邊大1（圖 171）。

圖 171前 6 個普洛尼克數。陰影部分-它們為什麼是三角形數的 2 倍

這裡有一個關于高斯的故事，在他還很年輕的時候，被老師要求完成一個一般形式的問題

很快發現，如果相同的和式以遞減的順序寫出來，即

其相應的數對之和都等于101。因為有10-對這樣的數對，所以它們的總和為

，這是一個普洛尼克數。老師提出的問題的答案是這個數的一半，即5050。然而，我們實際上并不知道高斯的老師在課上提出的問題到底是什麼，它有可能更難。如果是這樣的話，那麼高斯就更聰明了。

▌第 6 個卡塔蘭數

卡塔蘭數出現在許多不同的組合問題裡，所謂組合問題是指對各種數學任務的完成方法進行計數。這個問題可以追溯到歐拉，他計數了一個多邊形可以分割成多少種頂點相接的三角形。後來，歐仁·卡塔蘭發現了這類問題和代數之間的在加法或乘法算式裡插入括号的方法有多少種。我很快就會做解釋，但首先讓我先介紹一下這類數。

對 n = 0, 1, 2,…而言，前幾個卡塔蘭數 Cn

利用階乘可以得到如下公式：

當n比較大時，它還有一個很好的近似公式：

這又是一個在看似和圓或球體無關的問題裡出現了pi的例子。

Cn是把正(n 2)邊形分割成三角形的不同方法的數量（圖 172）。

圖 172 把六邊形分割成三角形的 14 種方法

它也是生成有n 1片葉子的二叉樹的數量。二叉樹源于一個根節點， 然後從這個節點開始向兩邊分枝。每個分枝都以點或葉子結束。每個點必須繼續分出兩枝（圖 173）。

圖 173 5 棵有 4 片葉子二叉樹

如果你覺得這個想法有點難懂，那麼它和代數還有一個更直接的聯系——計算在加法或乘法算式中插入括号的方法的總數，例如對 abcd 而言， 有C5 種可能：

一般而言，n 1個符号有Cn種插入括号的方法。為了搞明白其中的聯系， 我們可以把這些符号順次填在樹的葉子上。如果一對葉子有相同的節點，

那麼就插入括号。如圖 174 所示，我們先從左往右把4片葉子标上a、b、c、d。然後，從下往上在連接b和c的節點旁标記(bc)。它上面的節點連接了a和标記為(bc)的節點，因此新的節點對應于(a(bc))。最後，頂上的節點連接了(a(bc))和d，因此，它是((a(bc))d)。

圖 174 把二叉有根樹轉化成代數

許多其他的組合問題也會出現卡塔蘭數；以上是最容易描述的一小部分。

▌魔方

一個 3x3x3魔方的幻方常數是42 。這樣的魔方包含了 1,2,3 ,……，27 每個數各一次，平行于棱邊的每行或經過中心的對角線中的數之和是相等的——這個和被稱為幻方常數。所有 27個數之和是1 2 …… 27=378 。這些數可以被分成 組不相交的三元組，而每個三元組相加後可以得到幻方常數，因此幻方常數必須是378/9=42 。

這樣的排列是存在的，圖 175 就是一個例子。

圖 175 魔方的連續三層

▌其他特點

■ 42是分拆10的不同方法的數量，拆分需按自然順序把數寫成整數之和。

■42是第二個楔形數，所謂楔形數是指

3個不同質數之積。在這裡，42=2x3x7。

■42是第三個15邊形數，它和三角形數類似，但基于的是正15邊形。

■42是超級多重完全數：除數之和的除數之和（包括42），這樣重複6次之後的數字等于自己。

■ 在一段時期内，

42是已知最好的

pi的無理性度量值，即精确量化pi有多“無理”的一種方法。特别是庫爾特·馬勒在 1953 年證明了對任意有理數p/q而言，有

不過，V. 卡·薩利科夫在 2008 年将42修訂成7.60630853，因此，42在這裡又變回了無趣。

■ 42 是第三個本原僞完全數。所謂本原僞完全數需滿足條件

其中Pj是可以整除N的不同質數。前幾個本原僞完全數分别是

■42是這樣的一種n，存在小于n的4個不同正整數a、b、c、d， 且、ac-bd和ad-bc

全都可以整除n。它是僅有的已知具有這種性質的數，但人們尚不知道是否還存在其他這樣的數。

■42是被證明的香腸猜想裡的最小維度（見第 56 章）。不過，人們猜想命題在大于等于5維時都成立，因此，42在這裡的意義依賴于當下掌握的知識。

看到了嗎？42沒有那麼簡單，也一點都不乏味！

轉自公衆号 遇見數學