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小學分數什麼時候用除法

本文為“第二屆數學文化征文比賽”參賽作品，未經授權不得轉載，點擊圖片查看第二屆數學文化征文比賽通知。

義務教育第一學段中七個除法相關概念的一種理解

作者：劉萌戈，王穎盈，劉辨學

作品編号：008

投稿時間：2020.7.15

摘要：本文選取了七個在義務教育第一學段中除法相關的概念，四則運算的關系、除與除以、零不能做除數、帶餘數除法中的餘數、倍不是單位、分數線與除号、時與小時，在教學實踐的基礎上，提供一種教學方式與理解，希望幫助學生适當地理解這些概念，并掌握其應用。

關鍵詞：四則運算的關系；除與除以；零不能做除數；帶餘數除法；倍不是單位；分數線與除号；小時的寫法；第一學段

分類号：G623.5

《義務教育數學課程标準》中在“課程内容”部分明确要求在第一學段(一至三年級)“體會整數四則運算的意義”。事實上，就是要求學生掌握四則運算的概念。這其中，除法的概念相對比較困難。以下，作者分享七個除法相關概念的一種講解方法，希望在數學嚴謹性與學生接受能力兩者之間找到合理的平衡，供相關老師參考。同時，也推薦在螺旋上升的學習過程中，适時與同學講解。

一、四則運算的關系

除法是減法的簡便運算，“除”的意思是“去掉”(《詞典》)，比如，從10裡去掉2，這樣的操作，能操作幾次？10-2-2-2-2-2=0，一共操作了5次，這是減法。用除法就是10÷2=5。

基本的運算隻用兩種：加法與乘法。減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算。不講“加法是減法的逆運算，乘法是除法的逆運算^[2][3]”。

二、除與除以

4除8，的意思是“把4從8裡去掉”，或理解為“4離開8”。

“以”是介詞，意思是“用，拿”(《詞典》)，8除以4的意思是“8這個數，用4來一次一次地去掉”。

8÷4，可以讀作“八除以四”，或“四除八”。這方面，不同的學者有不同的看法以及讨論^{[4][5][6][7][8][9]}。作為一學段學生，不需要了解這些過于學術性的内容，教師了解這些背景後有利于引導。

三、零不能做除數^[10]

2÷0=？不論商為多少，在驗算時，0乘以任何數都為0，不會為2。所以，不論商寫多少，都不正确。

有同學會問：0÷0有沒有意義？也是沒有意義的。這個算式的結果可以是任意數，在驗算時，任意數×0=0，所以0÷0的結果有無數種，這在小學數學裡是不允許的^[11]。

四、帶餘數除法中的餘數

7÷3=2......1 (1)

9÷4=2......1 (2)

由此，有同學認為7÷3=9÷4。

帶餘數除法的結果不是一個數，是兩個數。餘數，看着相同，但意義不同。以分鉛筆為例，7支筆3個人來分，每人分2支，還多出1支。9支筆4個人來分，每人分2支，還多出1支。商都是2，兩個商的意義是相同的，即“每人分2支”。但餘數的意義是不同的^[12]。(1)式多出的1支，是給2人分的；(2)式多出的1支，是給4人分的。有的同學會進一步思考，2人分1支筆，就大于4人分1支筆，是不是可以認為7÷3>9÷4 ? 一學段學生還沒學過分數比較大小，如果作出上述思考，作者認為，應該給予肯定。

五、倍不是單位

小張有10本書，小紅有5本書。小張的書是小紅的書多少倍？

錯誤寫法：10÷5=2(倍)

倍表示數量之間的關系，數量本身有單位，但他們之間的倍數關系，是一個數，沒有單位。

一種講解：10本÷5本=2。這裡，本與本的單位相互抵消了。

這裡，有的學生會進一步思考這樣的單位運算原理：20米÷4米/秒=5(秒)。由于一學段還沒有學習分數的乘除法，可嘗試用教材上的“路程÷速度=時間”來解釋^[13][14]。要求學生嚴格寫出單位，為将來的量綱分析概念打下很好的基礎^[15]。

另一種講解：如果倍是單位，在驗算時就會發生這樣的錯誤：5本×2倍=10本倍。

六、分數線與除号

一學段已經初步接觸到分數概念，分數線可以理解為除号^[16]，這樣，1÷3與的含義就統一起來了，也能有效理解、的意義，為二學段中分數運算的學習打下基礎^[17]。理解了“分數線即是除号”後，自然就能理解“分母不能為零”^[18]。

七、時與小時^[19]

小時，表示的是一個範圍，英語叫hour，比如：工作時間是2小時(two hours)。在寫單位時，不引起混淆的情況下，“小時”可以簡寫為“時”^[20]，還是要讀為“小時”。

時，表示的是一個時間點，英語叫 o’clock，比如上午9時(nine o’clock)。

在部分地區，一學段已經學過以上兩個英文表達。數學與英語對照學習，能加深印象。

速度單位是應該寫為“千米/時”，讀為“千米每小時”^[21]。

作者分工：劉萌戈統籌全文，王穎盈提供了問題一與二的解釋、并審核全文，劉辨學提出了問題四與八并審閱全文。

參考文獻：

[1] 孫文，黃花岡七十二烈士事略·序

[2] 師興甯,加法和減法互為逆運算嗎?,小學教學參考,2007年29期:45

[3] 張景中,運算的規律,教育視界,2019年04期:74

[4] 楊國平，不妨把“除以”改為“除”，小學教學參考,2004年35期: 46-47

[5] 張海彬,“除以”和“除”的區别,小學教學研究,2006年08期: 44

[6] 張維甯 ,“除”和“除以”之我見, 小學教學參考,2007年17期: 48

[7] 張州杭, 從本質上來理解“除”與“除以”的含義,小學教學參考,2008年26期: 48

[8] 張維甯,花如成, 再談“除”和“除以”,小學教學參考,2008年22期: 90

[9] 蒲豔瓊,淺談如何讓學生理解除法中的“除”和“除以”的思考,課程教育研究,2020年09期:138

[10] 勞慶元, 這個課應該補上———談“零不能作除數”,甯夏教育,1983年01期:28-29

[11] 黃開武，0為什麼不能作除數，小學教學參考,2002年12期：44

[12] 胡秀霞，“帶餘除法”教學的實踐與反思，小學教學參考，2018年26期：38-39

[13] 齊偉,數學課例:路程、速度和時間的關系,信息技術教育,2004年09期:10-11

[14] 劉燕,張雲萍,王紅傑,“路程、時間與速度”教學實錄與評析,小學數學教育,2019年19期:51-54

[15] 張玲，在小學數學教學中應适當滲透“量綱分析”——計量單位計算的思想讨論，内蒙古教育，2008年17期：20-21

[16] 張菊,于“數與代數”中培養學生的合情推理能力——以“分數與除法的關系”教學為例，小學教學參考,2020年02期:64-65

[17] 馬曉钰, 小學生小數除法理解水平的調查研究--以上海市Y小學為例,上海師範大學碩士學位論文

[18] 嚴家麗,王光明,“分母為什麼不能為零”引發的思考,中學數學雜志,2010年08期:3-4

[19] 淩國偉，“時”和“小時”有什麼不同，小學數學教師，2014年21期：156

[20] 中華人民共和國國家标準,GB 3102.1-1993,空間和時間的量和單位

[21] 上海教育出版社，《小學數學》三年級第一學期，11頁的注釋